Geometria riemanniana
A.A. 2026/2027
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre lo studente ad argomenti avanzati di geometria classica delle superfici nello spazio Euclideo
Risultati apprendimento attesi
Una pratica all' uso del moving frame e degli strumenti analitici nello studio di problemi geometrici
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
La didattica è erogata in presenza. In caso emergenziale, sarà fatta in modalità online sincrona.
Programma
QUICK REVIEW DI GEOMETRIA RIEMANNIANA:
- Metriche, connessioni e curvatura.
- Variazione prima dell'energia: geodetiche, mappa esponenziale, carta normale.
- Teorema di Hopf-Rinow. Completezza e ricoprimenti.
- Variazione seconda e campi di Jacobi. Punti coniugati e loro proprietà.
- Dominio massimale della carta normale e cut-locus. Regolarità della funzione distanza.
TEORIA DELLE SOTTOVARIETÀ
- Immersioni isometriche. Connessione indotta, seconda forma fondamentale e curvatura media. Equazioni fondamentali. Mappa di Gauss. Teorema di Hadamard per ipersuperfici.
- Variazione prima dell'area e sottovarietà minima (cenni, tempo permettendo)
Questa prima parte sarà svolta almeno in parte in modalità interattiva di tipo problem-solving, per acquisire manualità con gli strumenti base della disciplina.
TEOREMI DI CONFRONTO ED APPLICAZIONI
- Teorema di confronto per l'Hessiano della funzione distanze
- Applicazioni: teoremi di Cartan e di Tompkins (e di Preissman, tempo permettendo). Length comparison.
- Teorema di confronto del Laplaciano
- Applicazioni: teoremi di Bonnet-Myers e di Cheng (diameter rigidity).
- Teorema di confronto dei volumi (Bishop-Gromov)
TEOREMA DI SPLITTING:
- Raggi e linee, funzione di Busemann e teorema di Splitting di Cheeger-Gromoll.
- Applicazioni: struttura del ricoprimento universale di una varietà compatta con Ricci non negativo.
HODGE THEORY
- Operatore star di Hodge, forme armoniche
- Teorema di Hodge (senza dimostrazione)
- Applicazione: stima del primo numero di Betti di varietá con Ricci non negativo (Bochner' technique)
TEORIA DEI PUNTI CRITICI NON LISCI
- punti regolari e critici per la funzione distanza, c-pseudogradienti
- Lemma di deformazione non liscio.
- Applicazioni: teorema del disco.
- Teorema di Toponogov
- Applicazione: teorema di Grove-Shiohama (diameter sphere theorem)
- Soul Theorem
- Metriche, connessioni e curvatura.
- Variazione prima dell'energia: geodetiche, mappa esponenziale, carta normale.
- Teorema di Hopf-Rinow. Completezza e ricoprimenti.
- Variazione seconda e campi di Jacobi. Punti coniugati e loro proprietà.
- Dominio massimale della carta normale e cut-locus. Regolarità della funzione distanza.
TEORIA DELLE SOTTOVARIETÀ
- Immersioni isometriche. Connessione indotta, seconda forma fondamentale e curvatura media. Equazioni fondamentali. Mappa di Gauss. Teorema di Hadamard per ipersuperfici.
- Variazione prima dell'area e sottovarietà minima (cenni, tempo permettendo)
Questa prima parte sarà svolta almeno in parte in modalità interattiva di tipo problem-solving, per acquisire manualità con gli strumenti base della disciplina.
TEOREMI DI CONFRONTO ED APPLICAZIONI
- Teorema di confronto per l'Hessiano della funzione distanze
- Applicazioni: teoremi di Cartan e di Tompkins (e di Preissman, tempo permettendo). Length comparison.
- Teorema di confronto del Laplaciano
- Applicazioni: teoremi di Bonnet-Myers e di Cheng (diameter rigidity).
- Teorema di confronto dei volumi (Bishop-Gromov)
TEOREMA DI SPLITTING:
- Raggi e linee, funzione di Busemann e teorema di Splitting di Cheeger-Gromoll.
- Applicazioni: struttura del ricoprimento universale di una varietà compatta con Ricci non negativo.
HODGE THEORY
- Operatore star di Hodge, forme armoniche
- Teorema di Hodge (senza dimostrazione)
- Applicazione: stima del primo numero di Betti di varietá con Ricci non negativo (Bochner' technique)
TEORIA DEI PUNTI CRITICI NON LISCI
- punti regolari e critici per la funzione distanza, c-pseudogradienti
- Lemma di deformazione non liscio.
- Applicazioni: teorema del disco.
- Teorema di Toponogov
- Applicazione: teorema di Grove-Shiohama (diameter sphere theorem)
- Soul Theorem
Prerequisiti
Un corso di base di Geometria Differenziale (circa corrispondente ai primi 5 capitoli del libro di Do Carmo in bibliografia).
Una conoscenza base dei seguenti argomenti è utile ma non indispensabile.
- PDE (solo principi di confronto e massimo per funzioni armoniche, nozione di soluzioni deboli di una PDE ellittica);
- definizione di coomologia di deRham, Teorema di deRham;
- spazi di rivestimento.
Una conoscenza base dei seguenti argomenti è utile ma non indispensabile.
- PDE (solo principi di confronto e massimo per funzioni armoniche, nozione di soluzioni deboli di una PDE ellittica);
- definizione di coomologia di deRham, Teorema di deRham;
- spazi di rivestimento.
Metodi didattici
Lezione frontale, esercizi svolti in classe in gruppi, esercizi assegnati a casa con correzione compartecipata in classe.
Materiale di riferimento
- P. Petersen, "Riemannian Geometry" (3rd ed.). Grad. Texts in Math. 171, Springer, Cham, 2016, xviii+499 pp.
- M.P. Do Carmo, "Riemannian Geometry", Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, xiv+300 pp.
- I. Chavel, "Riemannian geometry—a modern introduction", Cambridge Tracts in Math., 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, xii+386 pp.
- M. Dajczer and R. Tojeiro, "Submanifold theory", Universitext, Springer, New York, 2019, xx+628 pp.
Altri riferimenti indicati di volta in volta dal docente.
- M.P. Do Carmo, "Riemannian Geometry", Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992, xiv+300 pp.
- I. Chavel, "Riemannian geometry—a modern introduction", Cambridge Tracts in Math., 108, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, xii+386 pp.
- M. Dajczer and R. Tojeiro, "Submanifold theory", Universitext, Springer, New York, 2019, xx+628 pp.
Altri riferimenti indicati di volta in volta dal docente.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame orale sugli argomenti del corso, la cui struttura verrà concordata con il docente.
Docente/i
Ricevimento:
per appuntamento da fissare via email
via Cesare Saldini 50, Milano - Dipartimento di Matematica - stanza 2060 (2° piano, sottotetto)
Ricevimento:
Cotattatemi per email per fissare un appuntamento
Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques"