Analisi matematica 4

A.A. 2019/2020
6
Crediti massimi
58
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Completare l'insegnamento delle tecniche basilari del calcolo integrale in più variabili. Fornire le nozioni basilari di teoria della misura, con applicazione specifica alla misura di Lebesgue in Rn.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenze dei concetti e dei risultati dell'insegnamento e loro applicazione ad esercizi che richiedono anche capacità computazionali.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Misure positive e integrazione astratta. Spazi e funzioni misurabili, spazi di misura positiva, completamento di misure. Integrazione rispetto ad una misura. Integrazione delle successioni: convergenza monotona, lemma di Fatou, convergenza dominata. Spazio normato L1 e sua completezza. Misure prodotto, teoremi di Fubini e Tonelli. Teorema di Radon-Nikodym.

Misura di Lebesgue. Misura (e integrale) di Lebesgue in Rn (n ≥ 1), confronti con la teoria classica. Insiemi ternari di Cantor. Integrali dipendenti da un parametro. Cenni alla funzione Γ di Eulero. Integrale di Riemann-Stieltjes e di Lebesgue-Stieltjes. Differenziazione e integrazione. Cenni alla Misura di Hausdorff in Rn.

Integrali di superficie, rapporti fra integrazione e derivazione. Superfici con bordo, superfici e varietà orientate. Integrazione su varietà orientate. Teorema della divergenza. Formula di Green nel piano. Teorema di Stokes in R3. Integrazione per parti in più variabili.
Prerequisiti
Analisi Matematica 1, 2, e 3.
Metodi didattici
Lezioni tradizionali alla lavagna. Frequenza altamente consigliata.
Materiale di riferimento
-M. Peloso: [Appunti del corso]
-W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill;
-B. Gelbaum, J. Olmsted: Counterexamples in analysis, Dover Publications Inc., Mineola, NY, 2003;
-H.L. Royden: Real Analysis, MacMillan publ. co..
-G. Molteni, M. Vignati: Analisi Matematica 3, Città Studi Edizioni, Milano, 2006;
-E. Lanconelli: Lezioni diAnalisi Matematica 2 (seconda parte), Pitagora Editrice, Bologna, 1997.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta, una prova orale ed una prova di laboratorio.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di teoria della misura, passaggi al limite sotto il segno di integrale, e integrazioni in più variabili. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste 2 prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche esercizio al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 22 ore
Lezioni: 36 ore
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 15.30-17.30
ufficio 2044 (Dipartimento di Matematica, via Saldini 50- II piano)
Ricevimento:
Mercoledi' e giovedi 9:00 - 10:30, o per appuntamento
Studio 1021 Dipartimento di Matematica