Geometria 3

A.A. 2017/2018
6
Crediti massimi
58
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Introdurre gli studenti alle nozioni di base in topologia
Risultati apprendimento attesi
Stabilire le proprietà principali delle strutture topologiche, anche grazie ad alcuni invarianti.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Spazi topologici, primi esempi. Sottospazi e relativa topologia.
2. Basi, pre-basi, spazi metrici. Vari esempi. Metrica della convergenza uniforme. Convergenza puntuale. Topologia prodotto.
3. Confronto di topologie. Proprietà ed esempi. Rl e topologia standard, topologia di ordini totali.
4. Chiusura ed interno. Punti di aderenza, punti limite. Topologia ed operatori di chiusura.
5. Insiemi densi in X. Frontiera. Teorema di approssimazione di Weierstrass. Assiomi T0, T1, T2. Condizioni equivalenti. Insieme derivato. Validità degli assiomi di separazione in sottospazi, prodotti ecc. Ordine lessicografico nei prodotti e relativa topologia.
6. Sistemi fondamentali d'intorni e loro proprietà. Esempi e loro utilizzo.
7. Applicazioni continue. Composizioni. Caratterizzazioni. Omomorfismi. Esempi. Continuità puntuale. Proiezioni da prodotti. Spazi vettoriali topologici. Norme. Successioni. Primo assioma di numerabilità. Punti limite. Spazi metrici . Topologia della convergenza puntuale in R^R. Non metrizzabilità.
8. Successioni di Cauchy. Completezza. Completamento di uno spazio metrico "alla Cantor". Sua Unicità. Lo spazio funzionale Y^I con (Y,d) spazio metrico. Per I=(X,tau) studio del sottospazio C(X,Y). In particolare sua completezza (Teorema del limite uniforme). Completamento di uno spazio metrico (X, d) per immersione isometrica in (B(X,R), ro).
9. Ricoprimenti e compattezza. Preoprietà Immagine di un compatto in una applicazione continua. Omeomorfismi. Costruzione di una curva di Peano. Prodotto di due compatti. Esempi. Compatti nella topologia dell'ordine. Caratterizzazione dei compatti di R^n. Teorema di Weierstrass generalizzato. Compattezza e cardinalità. Proprietà dell'intersezione finita.
10. Compattezza secondo Frechet, compattezza per successioni. Implicazioni ed equivalenza in uno spazio metrico. Numero di Lebesgue di un ricoprimento. Totale limitatezza. Caratterizzazione della compattezza di uno spazio metrico (X, d). Equicontinuità puntuale e globale. Teorema di Ascoli. Uniforme equicontinuità. Algebre e reticoli. Il teorema di Stone sulle sottoalgebre chiuse di C(X, R).
11. Connessione. Esempi. Sottospazi. Aggiunzione di punti di aderenza. Insiemi connessi ed applicazioni continue. La topologia prodotto di una famiglia infinita di spazi topologici. La "box topology". Connessione di prodotti. Connessione negli spazi totalmente ordinati. Teorema del valore assunto su connessi. Connessione per archi. Esempi e controesempi. Immagini per applicazioni continue. Componenti connesse e connesse per archi. Teorema del rincollamento.
12. Ulteriori assiomi di separazione T3 e T4, loro caratterizzazioni ed esempi con particolare riguardo agli spazi metrici, spazi compatti e T2. Secondo assioma di numerabilità. Teorema di Lindeloff. Spazi separabili. Prodotti, sottospazi. Relazioni con il secondo assioma di numerabilità. T3 a base numerabile è T4. X ben ordinato è T4.
13. Lemma di Urysohn. T4 e separabilità con funzioni continue. Spazi completamente regolari. Teorema di metrizzabilità di Urysohn.
14. Omotopie. Spazi contraibili. Cammini e cammini omotopici. Gruppo fondamentale di uno spazio puntato. Dipendenza dal punto base. Omomorfismo indotto da applicazioni continue. Invarianza per omotopia. Spazi localmente connesssi e localmente connessi per archi. Spazi di ricoprimento. Rilevamenti di cammini. Ricoprimenti e classi laterali. Lemma del rilevamento. Semplice connessione e ricoprimento universale. Sue proprieta' fondamentali. Ricoprimenti regolari. Gruppo delle trasformazioni di ricoprimento e teorema dell' isomorfismo con il gruppo quoziente.
Propedeuticità
Tutti gli esami del primo anno
Prerequisiti e modalità di esame
Scritto e orale
Metodi didattici
Modalità di frequenza: Fortemente consigliata
Modalità di erogazione: Tradizionale
Materiale didattico e bibliografia
[M] M. Manetti, Topologia, Springer, 2a edizione, Milano (2014).
[K] C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Milano (1988).
[S] E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino (1994). Prerequisiti
Esercitazioni: 22 ore
Lezioni: 36 ore
Turni:
Docente: Rigoli Marco
Turno A
Docente: Rizzo Ottavio Giulio
Turno B
Docente: Mastrolia Paolo
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 11:00-12:00 e su appuntamento (inviare email)
Studio 1026, Via Saldini 50 (primo piano)
Ricevimento:
a richiesta su appuntamento
Ricevimento:
Mercoledì, 14-15 (fino a fine febbraio)
Ufficio