Matematica del continuo

A.A. 2016/2017
Insegnamento per
12
Crediti massimi
120
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Fornire gli strumenti base, sia dal punto di vista concettuale che del calcolo, indispensabili per poter seguire con profitto un corso universitario a carattere scientifico. Fornire conoscenze propedeutiche ad altri corsi base del cdl.

Struttura insegnamento e programma

Linea Milano
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 72 ore
Lezioni: 48 ore
Programma
Numeri complessi
Equazioni cubiche in campo reale e necessità dei numeri complessi.
Rappresentazione algebrica ed operazioni tra numeri complessi.
Rappresentazione trigonometrica: prodotto di numeri complessi e rotazioni, calcolo di radici. Cenni al teorema fondamentale dell'algebra.
Decomposizione di polinomi in fattori irriducibili, complessi e reali. Decomposizione in campo reale di razionali fratte in fratti semplici.

Numeri reali, razionali ed interi
Elementi di combinatoria: fattoriali e coefficienti binomiali, binomio di Newton.
Maggioranti e minoranti di un sottoinsieme della retta reale. Massimo e minimo, cenni ad estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere, successioni, proprietà delle successioni (monotonia e limitatezza, definitiva e non).

Limiti di successioni
Nozione di limite, unicità del limite e passaggio alle sottosuccessioni, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto.
Operazioni sui limiti e casi di indecisione.
Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero.
Criterio della radice e del rapporto: confronto tra infiniti.
Confronti tra successioni e simboli di Landau: asintotico, o piccolo, O grande, Omega grande e Teta grande. Relazioni tra i diversi simboli. Caratterizzazione al limite dei simboli grandi di Landau.

Funzioni continue
Nozione di continuità e sua interpretazione grafica. Limiti di funzioni e rivisitazione della continuità: i diversi tipi di discontinuità. Relazioni tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta.
Estensione dei simboli di Landau al caso di funzioni.
Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale
Nozione di derivata: approssimazione lineare e tangente ad una curva.
Continuità delle funzioni derivabili. Punti angolosi e cuspidi.
Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Operazioni con le derivate.
Punti di estremo relativo e Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e di Lagrange e loro applicazioni: caratterizzazione monotonia larga e stretta, caratterizzazione estremi locali. Studi di funzione.
Teorema di De l'Hôpital e confronto di infiniti.
Approssimazione locale di una funzione tramite polinomi: formula di Taylor, resto di Peano e resto di Lagrange. Sviluppi notevoli ed operazioni con gli sviluppi. Sviluppi asintotici.

Calcolo integrale
Calcolo delle aree: approssimazione e metodo di esaustione.
Cenni all'integrale di Rieman: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale definito.
Teorema della media integrale e Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive e Formula fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per decomposizione, per sostituzione e per parti. Integrazione di razionali fratte.
Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.

Somme e serie
Somme finite e simbolo di sommatoria: cambi di indice e manipolazione di somme. Somme di progressioni geometriche, di potenze di interi, telescopiche.
Nozione di serie e rapidità di approssimazione della somma: ridotte e rapidità di divergenza, resti e rapidità di convergenza. Esempi notevoli: serie geometrica, serie armonica, serie di Mengoli e telescopiche. Frazioni generatrici di allineamenti decimali. Rapidità di divergenza per la serie dei fattoriali.
Condizione necessaria di convergenza.
Convergenza assoluta e relazioni con la convergenza.
Serie a termini positivi: regolarità, confronto, rivisitazione dei criteri della radice e del rapporto.
Stime della rapidità di divergenza o di convergenza coi simboli di Landau. Stime col confronto integrale: ln(n!) e serie armonica generalizzata. Stime col confronto classico e col confronto asintotico con serie note. Stime con i criteri della radice e del rapporto.

Serie di potenze
Definizione e raggio di convergenza. Serie formali.
Operazioni algebriche con le serie di potenze: combinazioni lineari, prodotto di Cauchy o di convoluzione, derivazione.
Serie di Taylor: esempi notevoli. Convergenza e cenni all'analiticità. Razionali fratte: cenni alle relazioni tra singolarità e raggio di convergenza della serie di Taylor.

Ricorsione e funzioni generatrici
Introduzione alle equazioni di ricorrenza.
Traduzione di problemi di conteggio in equazioni di ricorrenza.
Funzioni generatrici e risoluzione delle equazioni di ricorrenza: serie di potenze ordinaria associata ad una successione e proprietà formali di manipolazione.
Esempi notevoli: numeri di Fibonacci e numeri di Catalan, espressione esplicita e comportamento asintotico.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 13.30 - 15.30
studio del docente - sottotetto del Dipartimento di Matematica