Matematica del continuo

A.A. 2019/2020
12
Crediti massimi
112
Ore totali
SSD
MAT/01 MAT/02 MAT/03 MAT/04 MAT/05 MAT/06 MAT/07 MAT/08 MAT/09
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è fornire conoscenze di base riguardanti: le metodologie generali del pensiero matematico; la teoria elementare degli insiemi; i principali sistemi numerici e le loro strutture algebriche e di ordine; l'algebra lineare; alcune funzioni elementari di variabile reale (o complessa); la nozione di limite, il calcolo differenziale e il calcolo integrale, soprattutto per le funzioni reali (o complesse) di una variabile reale; l'uso di funzioni elementari e del calcolo infinitesimale in alcune applicazioni al mondo reale.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente dovrà appropriarsi dei metodi generali del ragionamento matematico, raggiungere una comprensione profonda dei principali concetti teorici forniti dall'insegnamento e sviluppare la capacità di esporli in modo corente. Inoltre, lo studente dovrà imparare a risolvere problemi di calcolo nelle stesse aree, applicando in modo autonomo le tecniche risolutive fornite dall'insegnamento.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
1. Concetti elementari della teoria degli insiemi. Nozioni fondamentali sulle applicazioni tra insiemi. Relazioni su insiemi. Relazioni di equivalenza e di ordine. Elementi di calcolo combinatorio.
2. Gli insiemi N,Z,Q,R dei numeri naturali, interi relativi, razionali e reali, con le loro strutture algebriche e di ordine. Numerabilità di Q, non numerabilità di R. Completezza di R. Estremo superiore e inferiore di sottoinsiemi di R. Cenni di topologia in R. Gli spazi R^n (n=1,2,3, ).
3. Cenni sulla nozione astratta di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e matrici. Equazioni lineari.
4. Generalità sulle funzioni definite su un sottoinsieme di R, a valori in R. Alcune funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche.
Utilizzo delle funzioni trigonometriche in acustica.
Un primo incontro con la serie di Fourier.
5. Nozioni di limite e continuità per le funzioni da un sottoinsieme di R a R. Limiti riguardanti funzioni elementari. Limiti e operazioni algebriche sulle funzioni: forme di indecisione. Limiti e composizione delle funzioni. Limiti notevoli. Teoremi di Darboux e Weierstrass sulle funzioni continue.
6. Le successioni reali, e la relativa nozione di limite. Serie reali: alcuni esempi e condizioni di convergenza.
7. Nozione di derivata per una funzione da un sottonsieme di R a R, e suo significato geometrico. Una applicazione della derivata: la velocità di una particella.
Derivate e operazioni algebriche sulle funzioni.
Derivate delle funzioni elementari. Derivata di una
funzione inversa e di una funzione composta.
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange.
8. Derivate di ordine superiore al primo. Una applicazione della derivata seconda: l'accelerazione di una particella. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano o di Lagrange. Uso della formula di Taylor per il calcolo di limiti, o per la valutazione numerica di funzioni. Cenni sulla serie di Taylor.
9. Uso delle derivate per determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione da un sottoinsieme di R a R, e gli intervalli in cui tale funzione è crescente, decrescente, convessa o concava. Analisi di altri aspetti
del grafico di una tale funzione; asintoti.
10. Nozione di primitiva, o integrale indefinito, per
una funzione reale su un intervallo. Alcuni integrali indefiniti elementari. Integrazione per parti e per
sostituzione.
11. Integrale definito secondo Riemann di una funzione reale su un intervallo, e suo significato geometrico. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione definita per parti e per sostituzione. Cenni sugli integrali impropri. Cenni sull'uso di integrali per stimare somme e serie.
12. Il campo complesso C. Modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica di un numero
complesso. Cenni sui limiti, sulla derivazione e sull'integrazione di funzioni a valori complessi. Cenni sulle successioni e le serie complesse. L'esponenziale in campo complesso; formula di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Il teorema fondamentale dell'algebra.
Prerequisiti e modalità di esame
Trattandosi di un insegnamento nel primo semestre del primo anno, non vi sono prerequisiti specifici differenti da quelli richiesti per l'accesso al corso di laurea.
Metodi didattici
Sono utilizzate delle lezioni frontali. Durante le lezioni di carattere teorico vengono proiettate delle note scritte dal docente responsabile, disponibili anche sulla pagina web dell'insegnamento.
Materiale didattico e bibliografia
Tutti gli argomenti teorici trattati nelle lezioni e una parte degli argomenti delle esercitazioni sono coperti da note scritte dal docente responsabile, disponibili sulla pagina web dell'insegnamento all'indirizzo http://www.mat.unimi.it/users/pizzocchero/ .
Si segnalano anche i siti didattici ''Minimat'' e ''Matematica assistita'' disponibili presso il portale Ariel dell'Università degli Studi di Milano con indirizzo https://ariel.unimi.it/ , che possono essere consultati
in relazione ai contenuti delle esercitazioni.
Per consultazione o per approfondimento degli argomenti trattati durante le lezioni, è possibile utilizzare
qualcuno dei seguenti testi:
● T. Apostol, "Calculus Volume I. One-variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra", Ed. Wiley India;
● A. Avantaggiati, ''Istituzioni di matematica'', Ed. Ambrosiana;
● G.C. Barozzi, ''Primo corso di analisi matematica'', Ed. Zanichelli;
● G.C. Barozzi, C. Corradi, ''Matematica generale per le scienze economiche'', Ed. Il Mulino;
● A. Guerraggio, ''Matematica generale'', Ed. Bollati Boringhieri.
Modalità esame
L'esame si articola in una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta completa può essere sostituita da due prove parziali; la prima di tali prove parziali deve essere sostenuta ad una data stabilita durante il periodo di erogazione dell'insegnamento, la seconda deve essere sostenuta nel corso di uno dei primi due appelli dopo la fine delle lezioni.
Sia nella versione completa che nelle due versioni parziali, la prova scritta richiede la soluzione di problemi a risposta aperta di tipo computazionale, aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni.
La durata di ciascuna prova parziale è di due ore, la durata di una prova scritta completa è di tre ore.
Ciascuna delle due prove scritte parziali e la prova scritta completa vengono valutate con un giudizio (ad esempio:
insufficiente, quasi sufficiente sufficiente, buono, eccellente) che viene comunicato allo studente subito dopo la correzione (di solito, pochi giorni dopo lo svolgimento delle prove).
Per l'ammissione alla prova orale è richiesta una valutazione sufficiente (o almeno, vicina alla sufficienza) nella prova scritta completa, o in ciascuna delle due prove parziali.
La prova orale consiste in un colloquio, nel corso del quale lo studente deve mostrare di avere compreso in profondità i concetti teorici fondamentali dell'insegnamento e di saperli esporre in modo razionale, anche per quanto riguarda le dimostrazioni dei teoremi principali illustrati a lezione.
A discrezione della commissione esaminatrice, durante l'orale potranno essere richieste allo studente una discussione della sua prova scritta, o la risoluzione di semplici esercizi negli ambiti in cui la prova scritta abbia evidenziato delle carenze.
I requisiti minimi per il superamento dell'esame sono una valutazione sufficiente (o quasi sufficiente) nella prova scritta, e una valutazione sufficiente nella prova orale.
Il voto finale, espresso in trentesimi, è il risultato di una valutazione globale che tiene conto dei risultati dello scritto e dell'orale; esso viene comunicato allo studente subito dopo la conclusione dell'esame orale.
Ulteriori informazioni sulle modalità di esame si possono ottenere dalla pagina web del corso, in cui sono depositati i testi delle prove scritte negli appelli degli ultimi anni ed una guida alla preparazione dell'esame orale.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 0
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 0
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 0
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 0
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 0
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA - CFU: 0
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 64 ore
Docente/i
Ricevimento:
lunedi' ore 14.00-15.00, martedi' ore 15.00-17.00 (salvo variazioni occasionali, indicate in anticipo all'indirizzo http://users.mat.unimi.it/users/pizzocchero/didattica/)
studio
Ricevimento:
a richiesta su appuntamento