Matematica del continuo

A.A. 2015/2016
Insegnamento per
12
Crediti massimi
120
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Fornire gli strumenti base, sia dal punto di vista concettuale che del calcolo, indispensabili per poter seguire con profitto un corso universitario a carattere scientifico. Fornire conoscenze propedeutiche ad altri corsi base del cdl.

Struttura insegnamento e programma

Linea Milano
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 72 ore
Lezioni: 48 ore
Programma
Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, operazio-ni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposi-zione di polinomi.
Numeri reali, razionali ed interi. Confronto tra razionali ed irrazionali: insiemi numerabile e non numerabili. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale, estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: proprietà e sottosuccessioni.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite e passaggio alle sottosuccessioni, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, criteri del rapporto e della radice, nozione di o piccolo e utilizzo, nozione di asintotico e utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero. Altri simboli di Landau: O grande, Omega grande, Theta grande e loro utilizzo nel confronto tra successioni.
Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Nozione di limite per funzioni e relazione con la continuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una cur-va. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital e confronto di infiniti. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizza-zione.
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integra-le definito. Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie: shift, inversioni e altre manipolazioni algebriche. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Introduzione alla ricorsione: problemi di conteggio e loro traduzione in equazioni di ricorrenza. Soluzione di equazioni di ricorrenza tramite le funzioni generatrici (ordinarie): manipolazione formale di serie di potenze..
Informazioni sul programma
L'esame è articolato in una prova scritta ed una prova orale: il superamento della prima consente l'accesso alla seconda, all'interno del medesimo appello. Entrambe le prove concorrono a formare la votazione finale.
La prova scritta è a sua volta divisa in due parti, volte a testare l'abilità di calcolo (durata 2 ore) e la comprensione della teoria (durata 1 ora). A seguito della prova scritta, viene pubblicato sul sito del corso l'elenco degli ammessi all'orale.
Durante la prova orale, il candidato deve dimostrare di saper rispondere correttamente a tutti i quesiti proposti nella prova scritta, correggendo gli errori commessi e giustificando le risposte date, e rispondere a domande sull'intero programma del corso.
Per accedere all'esame è obbligatorio iscriversi tramite SIFA.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
Algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi.
Risoluzione di equazione e disequazioni elementari.
Il concetto di funzione: funzioni elementari, loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni.
Elementi di geometria analitica del piano: retta, circonferenza, parabola.
Elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione.
Elementi di insiemistica.
I prerequisiti al corso sono trattati nei corsi Minimat.
L'esame si articola in una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta richiede:

- la soluzione di esercizi, aventi contenuti e difficolta' analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni e raccolti

in fogli a disposizione degli studenti;

- la risposta a quesiti teorici.

La prova orale, cui si accede solo con una prova scritta sufficiente, parte da una discussione dei contenuti della

prova scritta per poi allargarsi a tutti gli argomenti trattati nel corso.
Metodi didattici
Modalità di esame: Scritto e orale; Modalità di frequenza: Fortemente consigliata; Modalità di erogazione: Tradizionale.
Riprese video (incomplete) dell'edizione 2010/11: http://vc.dsi.unimi.it
Materiale didattico e bibliografia
Matematica Assistita (http://ariel.unimi.it)
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori
H.S. Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press
Note del docente, su alcuni specifici argomenti.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 13.30 - 15.30
studio del docente - sottotetto del Dipartimento di Matematica