Superfici algebriche

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/03
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Gli scopi di questo corso sono: acquisire le nozioni di morfismi birazionali e modelli minimali di superfici; applicare queste nozioni per ottenere la classificazione delle superfici algebriche; costruire esempi di superfici algebriche lisce e studiarne le proprieta' geometriche.
Lo studente imparera' i primi risultati di geometria birazionale, in particolare riguardanti il problema della classificazione birazionale delle varieta'. Si acquisiranno inoltre tecniche per la costruzione e lo studio delle varieta' proiettive.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Programma
Materiale di base : Varietà complesse. Sottovarietà, divisori e fibrati lineari olomorfi. Fibrato canonico. Varietà proiettive. Sistemi lineari. Fibrati ampi e loro proprietà.
Primi elementi della teoria delle superfici algebriche proiettive: Curve su una superficie. Teoria dell'intersezione su una superficie algebrica. Gruppo di Neron-Severi ed equivalenza numerica. Teorema di Riemann-Roch, formula di Noether. Formula del genere.
I coni delle curve su una superficie: il teorema dell'indice di Hodge, cono ampio e cono nef.
Applicazioni birazionali e modelli minimali: Applicazioni razionali e sistemi lineari. Applicazioni birazionali. Scoppiamenti e loro proprietà. Invarianti birazionali. Modelli minimali. Dimensione di Kodaira e classificazione mediante gli invarianti birazionali
Esempi: superfici con dimensione di Kodaira negativa: scoppiamenti di P^2 e superfici di del Pezzo. Superfici di Kodaira uguale a zero, con particolare enfasi su superfici K3 e Abeliane.
Superfici con dimensione di Kodaira uguale 1 e fibrazioni ellittiche.
Superfici di tipo generale e rivestimenti lisci di superfici.
Propedeuticità
Nessuna in particolare, ma può risultare utile avere seguito un corso introduttivo alla geometria algebrica o complessa.
Prerequisiti e modalità di esame
L'esame consiste di una prova orale, durante la quale lo studente dovra' mostrare di aver acquisito i contenuti del corso, sia rispondendo a domande specifiche sia, eventualmente, tenendo un breve seminario su argomenti collegati a quelli del corso e concordati con il docente.
Metodi didattici
Lezione frontale classica
Materiale didattico e bibliografia
- W. Barth, K. Hulek, C, Peters, A, van de Ven Compact complex surfaces. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 4. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces, Second Edition, Cambridge Univ. Press, 1996.
- M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
Periodo
Secondo semestre
Periodo
Secondo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi