Finanza matematica 1

A.A. 2014/2015
Insegnamento per
9
Crediti massimi
69
Ore totali
Lingua
Inglese
Obiettivi formativi
Introduzione alla finanza matematica: la valutazione d'opzioni in mercati
completi e incompleti, i teoremi fondamentali di valutazione, il modello di Black e Scholes. Applicazioni.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 20 ore
Lezioni: 49 ore
Docente: Frittelli Marco
Programma
I Introduzione ai mercati finanziari e alle opzioni
Leggi finanziarie e regimi di capitalizzazione. Relazione di preferenza e loro
rappresentazione in termini di utilità attesa. Avversione al rischio e certo equivalente.
Mercato uniperiodale: modello binomiale e trinomiale. Opzioni: definizioni e
caratteristiche. Principio di non arbitraggio. Replicabilità di contingent claims.
Completezza e incompletezza del mercato. Misure neutrali al rischio. La valutazione
delle opzioni replicabili. Put-Call parity. Strumenti speculativi e di copertura.
II Cenni sui processi stocastici in tempo discreto
Spazi di probabilità. Richiami sugli spazi Lp. Definizione e proprietà del valor atteso
condizionato. Processi stocastici, processi adattati e prevedibili, filtrazione naturale.
Martingale in tempo discreto. Supermartingale e decomposizione di Doob. La
proprietà di submartingala del quadrato di una martingala. Misure equivalenti di
martingala. Proprietà di martingala dell'integrale stocastico elementare.
III Mercati in tempo discreto.
Il mercato multi-periodale. Strategie d'investimento. Il processo del valore del
portafoglio. I "contingent claims" replicabili. Opportunità di arbitraggio e il principio
di non arbitraggio. Misure di probabilità equivalenti di martingala e valutazione
neutrale al rischio. Il I teorema fondamentale di valutazione: NA è equivalente
all'esistenza di una misura equivalente di martingala. Il II teorema fondamentale di
valutazione: completezza del mercato. La formula di valutazione di claims replicabili.
Il modello binomiale: la formula di valutazione e le strategie di copertura.
Valutazione di contingent claims particolari: Opzioni Lookback, Asiatiche, Chooser,
Compound.
IV Completezza e incompletezza del mercato
Richiami di analisi funzionale: spazi duali, topologie compatibili con un sistema
duale, topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare.
L'insieme K e sua caratterizzazione attraverso strategie d-dimensionali. Strategie
ammissibili nel caso di spazio finito dimensionale o infinito dimensionale. Il cono C
dei contingent claims super replicabili. La condizione di non arbitraggio, di NFLVR e
la chiusura debole di C. La condizione di NFL. Relazioni fra NA, NFL, NFLVR. Il I
Teorema fondamentale di valutazione: Equivalenza fra NFL e M^e non vuoto.
Caratterizzazione dell'insieme delle misure di martingala M^a, come insieme polare
di C (normalizzato). Caratterizzazione del cono C come polare di M^a. Densità in
M^a dell'insieme delle misure equivalenti di martingala.
Caratterizzazione dei contingent claims replicabili. Dimostrazione del II FTAP.
Mercati incompleti. Valutazione di contingent claims in mercati incompleti. Il prezzo
di super-replicazione e l'intervallo di non arbitraggio. Teorema di dualità per il prezzo
di super replicazione nell'ipotesi che il cono convesso C sia debolmente chiuso.
Massimizzazione dell'utilità attesa. Definizione di "Fair Price" di un contingent
claim. La misura equivalente di martingala associata al Fair Price. Il caso dell'utilità
esponenziale. Il problema della minimizzazione dell'entropia relativa. Dimostrazione
della dualità fra massimizzazione dell'utilità esponenziale e minimizzazione
dell'entropia relativa.
V Cenni sui processi stocastici
Moto Browniano. Martingale in tempo continuo. La martingala esponenziale.
Traiettorie del MB non a variazione limitata. Variazione quadratica del MB.
L'integrale stocastico rispetto al MB e proprietà di martingala. Processi di Ito e la
formula di Ito. Lemma di Novikov e teorema di Girsanov. Proprietà di
rappresentazione prevedibile. Esempi di equazioni differenziali stocastiche.
VI Modelli in tempo continuo e il modello di Black e Scholes
Descrizione del modello di BS e sua analisi alla luce dei principi generali di
valutazione. Verifica dell'esistenza di una misura equivalente di martingala. La
formula di BS e sua derivazione (metodo probabilistico e metodo analitico).
L'equazione alle derivate parziali di BS. Condizioni finali e al contorno. Delta
hedging e Gamma hedging. Greeks. Assicurazione del portafoglio. Volatilità
implicita: effetto "smile". Limiti del modello di BS.
Valutazione di contingent claims in mercati incompleti in tempo continuo.
Valutazione con strumenti finanziari non negoziabili: l'equazione alle derivate
parziali e il prezzo di mercato del rischio. Il problema della calibrazione.
Cenni ai modelli con volatilità locale e con volatilità stocastica.
Propedeuticità
Calcolo delle Probabilità, Processi Stocastici
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna e presentazione di software applicativi.
Materiale didattico e bibliografia
S. Pliska: "Introduction to Mathematical Finance", Blackwell, 1997.
S. Shreve: "Stochastic Calculus for Finance I and II", Springer, 2004.
T. Bjork: "Arbitrage Theory in Continuous Time", 2nd Edition, Oxford University
Press, 2004.
A. Pascucci: "Calcolo stocastico per la finanza" Springer, 2008.
C. Aliprantis, K. Border: "Infinite Dimensional Analysis", 3rd Edition, Springer 2006.
D. Williams: "Probability with martingales", Cambridge University Press, 1991.
Periodo
Secondo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 14:00-16:00
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50