Analisi matematica 1

A.A. 2014/2015
Insegnamento per
9
Crediti massimi
89
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Introduzione di alcuni concetti basilari per lo studio del calcolo differenziale in una e più variabili. In particolare, definizione di campi numerici e spazi metrici per lo studio di successioni e serie, limiti, continuità e calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Apprendimento di alcune tra le tecniche di calcolo fondamentali.

Struttura insegnamento e programma

Analisi Matematica 1 (ediz.1)
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Campo reale e campo complesso. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici ennesime. Il teorema fondamentale dell'algebra. Richiami di teoria elementare degli insiemi, delle applicazioni tra insiemi, relazioni e funzioni. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.

Spazi metrici. Definizione, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero di Nepero "e" ed applicazioni.

Serie numeriche. Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz. Operazioni sulle serie. Riordinamenti.

Limiti e continuità. Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e le proprietà di compattezza e connessione. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Differenziabilità e la funzione derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, convessità, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.
Informazioni sul programma
Modalità di frequenza:

Fortemente consigliata

Modalità di erogazione:

Tradizionale

Sarà attivo un servizio di tutorato tenuto in orari e luoghi da definirsi e che verranno comunicate sulla pagina web del corso.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
Nozioni basilari di algebra e geometria analitica nel piano. Funzioni esponenziali, logaritmi, trigonometriche e loro proprietà. Risoluzione di equazioni e disequazioni.
Esame: Scritto e orale
Materiale didattico e bibliografia
P. M. Soardi: "Analisi Matematica", II edizione, Città Studi, 2010.

È inoltre consigliata la consultazione di:
W. Rudin: "Principi di Analisi Matematica", Mc Graw Hill, 1997.

G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", 2° edizione, McGraw-Hill, 2011

E. Giusti: "Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", Bollati Boringhieri, 2000.

L. De Michele, G. L. Forti: "Analisi Matematica: problemi ed esercizi", CLUP, 2000.
Periodo
Primo semestre
Analisi Matematica 1 (ediz.2)
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Campo reale e campo complesso. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici ennesime. Il teorema fondamentale dell'algebra. Richiami di teoria elementare degli insiemi, delle applicazioni tra insiemi, relazioni e funzioni. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.

Spazi metrici. Definizione, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero di Nepero "e" ed applicazioni.

Serie numeriche. Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz. Operazioni sulle serie. Riordinamenti.

Limiti e continuità. Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e le proprietà di compattezza e connessione. Continuità della funzione composta e della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Differenziabilità e la funzione derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, convessità, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.
Informazioni sul programma
Modalità di frequenza:

Fortemente consigliata

Modalità di erogazione:

Tradizionale

Sarà attivo un servizio di tutorato tenuto in orari e luoghi da definirsi e che verranno comunicate sulla pagina web del corso.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
Nozioni basilari di algebra e geometria analitica nel piano. Funzioni esponenziali, logaritmi, trigonometriche e loro proprietà. Risoluzione di equazioni e disequazioni.
Esame: Scritto e orale
Materiale didattico e bibliografia
P. M. Soardi: "Analisi Matematica", II edizione, Città Studi, 2010.

È inoltre consigliata la consultazione di:
W. Rudin: "Principi di Analisi Matematica", Mc Graw Hill, 1997.

G. Gilardi: "Analisi Matematica di Base", 2° edizione, McGraw-Hill, 2011

E. Giusti: "Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo", Bollati Boringhieri, 2000.

L. De Michele, G. L. Forti: "Analisi Matematica: problemi ed esercizi", CLUP, 2000.
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
per appuntamento via e-mail
Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50 - ufficio n. 2060
Ricevimento:
Mercoledi' e giovedi 9:00 - 10:30, o per appuntamento
Studio 1021 Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
consultare pagina web
Via Saldini 50 studio n. 2095 (2 piano)
Ricevimento:
su appuntamento
ufficio 1044, I piano Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", Via Saldini, 50