Analisi matematica 1

A.A. 2015/2016
Insegnamento per
8
Crediti massimi
72
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire allo studente un'introduzione e un primo approfondimento della conoscenza dell'Analisi Matematica con particolare riferimento ai numeri reali, numeri complessi, successioni e serie numeriche , limiti,
continuita', calcolo differenziale in una variabile. Le nozioni di
limite e continuita' sono trattate nell'ambito piu' astratto degli spazi
metrici, di cui viene fornita una trattazione semplice ma precisa.

Struttura insegnamento e programma

CORSO A
Edizione attiva
Esercitazioni: 40 ore
Lezioni: 32 ore
Programma
Campo reale e campo complesso
L'insieme dei numeri reali: campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza della radice n-esima di un numero positivo. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Sistema dei numeri reali estesi. Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica. Operazioni. Formula di de Moivre, radici n-esime. Il teorema fondamentale dell'algebra.

Insiemi, funzioni e spazi metrici
Richiami di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R. R^n come spazio vettoriale normato. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi metrici. Intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico.

Successioni
Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero "e". Limiti notevoli. Definizione e proprietà dei simboli di asintotico e di "o-piccolo".

Serie numeriche
Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz.

Applicazioni tra spazi metrici
Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità puntuale e globale. Controimmagine di un aperto. Continuità e compattezza. Continuità e connessione. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
Derivabilità: definizione e significato geometrico. Differenziabilità e continuità. Regole di derivazione. Derivata delle funzioni elementari. Derivate successive. Differenziabilità della funzione composta e dell'inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teoremi de l'Hospital. Formula di Taylor: resto secondo Peano e Lagrange. Formula di Mac-Laurin delle funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Convessità in un intervallo. Punti di flesso.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
MODALITA' D'ESAME: prova scritta e prova orale
La prova scritta verte sugli argomenti trattati durante le esercitazioni del corso. La prova scritta è particolarmente importante nei casi in cui permette di verificare la conoscenza corretta da parte dello studente degli ordini di grandezza delle quantità calcolate, spesso ben lontane dalla nostra esperienza diretta.
Sono previste prove in itinere sugli stessi argomenti il cui superamento esonera dalla prova scritta.
L'esame orale consiste in una discussione che verte su argomenti trattati nel corso e/o sulla prova scritta.
Metodi didattici
Modalità di frequenza: fortemente consigliata;
Modalità di erogazione: tradizionale.
Materiale didattico e bibliografia
W. Rudin. Principi di Analisi Matematica. Mc Graw Hill Libri. Italia
P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo. Bologna
Periodo
Primo semestre
CORSO B
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 40 ore
Lezioni: 32 ore
Programma
Campo reale e campo complesso
L'insieme dei numeri reali: campo ordinato con la proprietà dell'estremo superiore. Esistenza della radice n-esima di un numero positivo. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Sistema dei numeri reali estesi. Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica. Operazioni. Formula di de Moivre, radici n-esime. Il teorema fondamentale dell'algebra.

Insiemi, funzioni e spazi metrici
Richiami di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili, insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R. R^n come spazio vettoriale normato. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi metrici. Intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti, insiemi connessi. Il campo reale esteso come spazio metrico.

Successioni
Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Il limite che definisce il numero "e". Limiti notevoli. Definizione e proprietà dei simboli di asintotico e di "o-piccolo".

Serie numeriche
Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Serie assolutamente convergenti. Il criterio di Cauchy. Criteri sufficienti di convergenza assoluta. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibnitz.

Applicazioni tra spazi metrici
Limiti di funzioni. Definizione equivalente per successioni. Continuità puntuale e globale. Controimmagine di un aperto. Continuità e compattezza. Continuità e connessione. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità. Funzioni reali di variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Asintoti. Discontinuità.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
Derivabilità: definizione e significato geometrico. Differenziabilità e continuità. Regole di derivazione. Derivata delle funzioni elementari. Derivate successive. Differenziabilità della funzione composta e dell'inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teoremi de l'Hospital. Formula di Taylor: resto secondo Peano e Lagrange. Formula di Mac-Laurin delle funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Convessità in un intervallo. Punti di flesso.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
MODALITA' D'ESAME: prova scritta e prova orale
La prova scritta verte sugli argomenti trattati durante le esercitazioni del corso. La prova scritta è particolarmente importante nei casi in cui permette di verificare la conoscenza corretta da parte dello studente degli ordini di grandezza delle quantità calcolate, spesso ben lontane dalla nostra esperienza diretta.
Sono previste prove in itinere sugli stessi argomenti il cui superamento esonera dalla prova scritta.
L'esame orale consiste in una discussione che verte su argomenti trattati nel corso e/o sulla prova scritta.
Metodi didattici
Modalità di frequenza: fortemente consigliata;
Modalità di erogazione: tradizionale.
Materiale didattico e bibliografia
W. Rudin. Principi di Analisi Matematica. Mc Graw Hill Libri. Italia
P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo. Bologna
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 15.30-17.30
ufficio 2044 (Dipartimento di Matematica, via Saldini 50- II piano)
Ricevimento:
Da marzo a settembre 2019 per appuntamento da fissare di persona o via e-mail
Ufficio 1037- Dip. di Matematica
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)