Matematiche elementari dal p.v.s.1

A.A. 2015/2016
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
La prima parte del corso si propone di fornire una introduzione alla teoria assiomatica degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel, per introdurre le nozioni di insieme infinito e infinito, e studiare i numeri naturali, i numeri ordinali e i numeri cardinali con le rispettive proprieta e aritmetiche.
La seconda parte del corso si propone di fornire una introduzione alle geometrie non euclidee con particolare attenzione alla geometria del piano iperbolico. Saranno forniti altresi cenni alla geometria dello spazio ellittico tridimensionale.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Programma
I PARTE
Introduzione: generalita sui linguaggi e sulle teorie del I ordine. Il linguaggio della teoria degli insiemi.
Insiemi astratti. Relazione di appartenenza. Assioma di estensionalita. Assiomi del vuoto, della coppia, dell'unione e della potenza.
Assioma di separazione. Introduzione delle operazioni tra insiemi. Non esistenza di un insieme universale. Relazioni e funzioni, famiglie e prodotti di famiglie di insiemi.
Cardinalit_a. Teorema di Cantor. Teorema di Cantor, Bernstein, Schroder.
Insiemi riflessivi. Successore. Insiemi ereditari. Assioma dell'infinito. L'insieme ω dei numeri naturali.
Principio di induzione, di induzione forte, del minimo. Proprieta di ω. Assiomi di Peano. Operazioni sui naturali.
Insiemi infiniti. Assioma di scelta. Teorema di Ricorsione primitiva su ω. Principio di induzione e ricorsione su buon ordini. Insiemi infiniti. Confronto tra insiemi bene ordinati.
Ordinali (di Von Neumann). Confronto tra ordinali.
Assioma di rimpiazzamento. Principio del buon ordinamento. Cenni all'aritmetica ordinale.
Cardinali. Cenni all'aritmetica ordinale.

II PARTE
Introduzione: generalita sui sistemi assiomatici, consistenza e categoricita. Gli assiomi della geometria iperbolica del piano. Modelli.
Modello del semipiano complesso superiore, H. Lunghezza e distanza in geometria iperbolica. Cerchi e rette. Trasformazioni di Mobius. Geodetiche in H.
Modello del disco di Poincare. Distanza nel disco di Poincare. Trasformazioni di Mobius nel disco di Poincare.
Teorema di Gauss-Bonnet in geometria iperbolica.
Trigonometria iperbolica. Triangoli rettangoli e angolo di parallelismo.
Classificazione delle trasformazioni di Mobius.
Gruppi Fuchsiani. Cenni.
Geometria ellittica. Il modello di Klein per la geometria ellittica in 3 dimensioni. Parallelismo di Clifford.
Metodi didattici
Lezioni frontali, in parte dedicate ad esercitazioni.
Materiale didattico e bibliografia
I PARTE
P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri, 1994.

II PARTE
J. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, 1999.
S. Katok, Fuchsian Groups, Lecture Notes in Mathematics, Chicago University Press, 1992.
F. Klein, Vorlesungen uber nicht-Euklidische Geometrie, Berlin, 1928. (Sara fornita una traduzione italiana di alcune parti dell'opera.)
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50