Argomenti avanzati di finanza matematica

A.A. 2015/2016
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Approfondimenti di alcuni temi della finanza matematica: l'analisi
della teoria delle misure di rischio e per la gestione e controllo del
rischio finanziario, la valutazione di opzioni in mercati incompleti
sulla base del criterio della massimizzazione dell'utilità attesa.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Lezioni: 42 ore
Docente: Frittelli Marco
Programma
I Richiami del corso di Finanza Matematica 1
Opzioni: definizioni e caratteristiche. Il principio di non arbitraggio. La valutazione
delle opzioni. Completezza e incompletezza del mercato. I teoremi fondamentali di
valutazione. Il prezzo di super-replicazione.
II Cenni di Analisi convessa
Spazi duali e topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare. Funzioni
convesse, funzioni coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau. Lo spazio ba, duale
topologico di L^infty, Il teorema di Yosida-Hewitt. Il teorema di Penot-Volle sulle
funzioni quasi-convesse e lsc.
III Misure di Rischio
Misure di Rischio (MdR) monetarie, MdR coerenti e convesse. Proprietà e
interpretazione finanziaria. Implicazioni fra le diverse proprietà delle MdR. Proprietà
"cash additive": condizione necessaria e sufficiente per la rappresentazione delle MdR
attraverso gli insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ. Lipschitz continuità.
MdR quasi-convesse e cash-subadditive. Proprietà e rappresentazione attraverso la
famiglia A=(A_m) d'insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ.
Esempi: V@R, Worst RM, MdR entropica, certo equivalente.
Rappresentazione duale delle MdR coerenti e convesse utilizzando il teorema di
Fenchel-Moreau.
Equivalenti condizioni di continuità per ρ monotone e quasi-convesse definite su
L^infty. Analisi della MdR "worst" e della MdR entropica. Formulazione variazionale
della MdR entropica.
Rappresentazione delle MdR coerenti attraverso il teorema di dualità per il prezzo di
super replicazione.
Rappresentazione duale delle MdR quasi-convesse e monotone utilizzando il teorema
di Penot-Volle).
MdR condizionali e dinamiche. Proprietà di regolarità. Rappresentazione duale delle
MdR condizionali (Scandolo-Detlefsen).
Cenni: sull'estensione del teorema di Namioka-Klee, sulle misure di rischio definite
su spazi di Orlicz, sul problema dell'estensione di MdR dallo spazio L^infty a spazi
L^p, sulle MdR invarianti in distribuzione, sulle MdR definite sulle funzioni di
distribuzione, sul Lambda V@R, sulle Scientific Research Measures.
IV Sul mercato finanziario
Modello di mercato finanziario generale. Il cono K dei claims replicabili e il cono C
dei claims super replicabili e limitati. Misure "separanti" M (misure di martingala) e
loro caratterizzazione. Le condizioni di NA, NFL, NFLVR. La condizione di No Free
Lunch with Vanishing Risk (NFLVR) e la chiusura debole di C.
V Massimizzazione dell'utilità attesa.
Le diverse ipotesi sulla funzione d'utilità u e conseguenze sulla sua funzione
coniugata. Esempi.
Funzioni coniugate concave. Il funzionale coniugato del funzionale integrale. I
teoremi di Rockafellar e di dualità di Fenchel. Il teorema minimax.
Il problema duale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa.
Il problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato
da una sola probabilità Q, su L^infty e su L^1. Misure a entropia finita. Esempi di
calcolo di (U_Q)(x) e uguaglianza fra (U_Q)(x), (U^Q)(x) e I(x,Q).
Sul funzionale U dell'utilità ottimale.
La misura Minimax. Condizioni equivalenti a U(x)Rappresentazione duale del problema di massimizzazione dell'utilità in mercati
incompleti. Esempi: minimal variance, minimal entropy, minimal infty norm.
Relazione di dualità con contingent claims, penalità entropiche. La rappresentazione
duale dell'entropia relativa. Interpretazione finanziaria dell'entropia relativa.
Valutazioni delle opzioni attraverso le misure minimax. Il "Fair price" di Davis.
Il certo equivalente dinamico e proprietà.
Il prezzo di vendita e di acquisto per funzionali generali e associazione con le misure
di rischio.
Il prezzo d'indifferenza e relazione con le misure di rischio. Proprietà del prezzo
d'indifferenza e sua rappresentazione duale.
Esistenza della soluzione ottimale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa
con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità (mercato completo). Sulle
ipotesi addizionali sulla funzione d'utilità. Cenni al caso di mercato incompleto.
English


Advanced Methods in Finance
Objectives
Two central topics of Mathematical Finance: the theory of risk
measures and the valuation of contingent claims in incomplete
markets by utility maximization and indifference pricing.
Propedeuticità
Propedeuticità consigliate
Finanza Matematica 1, Calcolo delle Probabilità, Processi Stocastici
Prerequisiti e modalità di esame
Modalità di esame:
Orale
Metodi didattici
Metodi Didattici
Lezioni alla lavagna e presentazione di software applicativi.
Materiale didattico e bibliografia
Materiale di riferimento
Dispense del docente.
H. Follmer, A. Schied: "Stochastic Finance", 2nd Edition, de Gruyter, 2004.
C. Aliprantis, K. Border: "Infinite Dimensional Analysis", 3rd Edition, Springer 2006.
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 14:00-16:00
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50