Sistemi hamiltoniani 1

A.A. 2016/2017
Insegnamento per
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/07
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Imparare ad utilizzare la teoria dei sistemi Hamiltoniani per studiare il comportamento qualitativo di equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Moduli o unità didattiche
sistemi hamiltoniani 1 (prima parte)
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore

sistemi hamiltoniani 1 mod/02
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 3
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 7 ore

Propedeuticità
Non e' richiesta la conoscenza del contenuto di alcun corso della magistrale. I corsi di base della laurea triennale in matematica sono sufficienti.
Prerequisiti e modalità di esame
Orale
Per il laboratorio e' prevista la scrittura di un programma
Metodi didattici
Modalità di frequenza: Fortemente consigliata
Modalità di erogazione: Lezioni
sistemi hamiltoniani 1 (prima parte)
Programma
La teoria dei sistemi Hamiltoniani prende l'avvio dall'idea che utilizzando cambiamenti di coordinate che mischino tra loro posizioni e velocita' dovrebbe essere possibile ricondurre le equazioni differenziali ad una forma semplice e determinare il comportamento delle soluzioni.

Tale idea ha portato a riconoscere come alle spalle di una ampia classe di equazioni differenziali (oggi note come Hamiltoniane) vi sia una struttura geometrica lasciata invariante (la struttura simplettica) e come il suo utilizzo permetta di capire molte caratteristiche della dinamica, in particolare di quei sistemi noti come sistemi integrabili.

La maggior parte dei sistemi Hamiltoniani tuttavia non appartiene a tale classe e nel corso del diciannovesimo e ventesimo secolo sono stati sviluppati strumenti atti a comprendere la dinamica di sistemi abbastanza generali, quali, ad esempio, i sistemi planetari.

Nell'ultima parte del ventesimo secolo e nella prima parte di questo ventunesimo secolo si e' capito come molte equazioni a derivate parziali rientrino nella categoria dei sistemi Hamiltoniani e sono stati poi sviluppati strumenti atti a studiare tali equazioni

Il corso partira' dalla teoria classica sviluppando i concetti di base (definizione di sistema Hamiltoniano, trasformazioni canoniche, forma simplettica) si passera' alla caratterizzazione della dinamica dei sistemi integrabili (teorema di Arnold Liouville) e all'uso del teorema generale per lo studio di importanti sistemi particolari (moto planetario, variabili di Delauney).

La seconda parte del corso sara' dedicata alla teoria delle pertubazioni in cui si studia il cambiamento della dinamica di un sistema integrabile sotto piccola perturbazione (forma normale di Birkhoff, teorema KAM) con applicazioni ad alcuni fenomeni interessanti (precessione del perielio di mercurio dovuto a giove, precessione degli equinozi).

Nell'ultima parte del corso si daranno alcuni elementi della teoria delle equazioni a derivate parziali Hamiltoniane (introduzione agli spazi di Sobolev, formalismo Hamiltoniano per PDE, teoria delle pertubazioni).
Materiale didattico e bibliografia
Dispense
sistemi hamiltoniani 1 mod/02
Programma
La parte di laboratorio sara' dedicata allo studio numerico della dinamica di equazioni differenziali ordinarie, con particolare attenzione agli algoritmi simplettici e al loro studio teorico.
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
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