Matematiche elementari dal p.v.s.1

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
La prima parte del corso si propone di fornire una introduzione alla teoria assiomatica degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel, per introdurre le nozioni di insieme nito e infinito, e studiare i numeri naturali, i numeri ordinali e i numeri cardinali con le rispettive proprietà aritmetiche.
n questa parte del corso sono introdotti concetti e teoremi di base dell'analisi complessa finalizzati alla presentazione di diverse dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra (TFA).

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Lezioni: 42 ore
Docenti: Bottazzini Umberto, Mantovani Sandra
Programma
I PARTE
Introduzione: generalita sui linguaggi e sulle teorie del I ordine. Il linguaggio della teoria degli insiemi.
Insiemi astratti. Relazione di appartenenza. Assioma di estensionalita. Assiomi del vuoto, della coppia, dell'unione e della potenza.
Assioma di separazione. Introduzione delle operazioni tra insiemi. Non esistenza di un insieme universale. Relazioni e funzioni, famiglie e prodotti di famiglie di insiemi.
Cardinalit_a. Teorema di Cantor. Teorema di Cantor, Bernstein, Schroder.
Insiemi riflessivi. Successore. Insiemi ereditari. Assioma dell'infinito. L'insieme ω dei numeri naturali.
Principio di induzione, di induzione forte, del minimo. Proprieta di ω. Assiomi di Peano. Operazioni sui naturali.
Insiemi infiniti. Assioma di scelta. Teorema di Ricorsione primitiva su ω. Principio di induzione e ricorsione su buon ordini. Insiemi infiniti. Confronto tra insiemi bene ordinati.
Ordinali (di Von Neumann). Confronto tra ordinali.
Assioma di rimpiazzamento. Principio del buon ordinamento. Cenni all'aritmetica ordinale.
Cardinali. Cenni all'aritmetica ordinale.

II PARTE
- Il campo dei numeri complessi
- Polinomi sul campo complesso
- TFA: Dimostrazione di d'Alembert
- TFA: Dimostrazione di Gauss
- TFA: Dimostrazione di Cauchy
- Funzioni di una variabile complessa
- Equazioni di Cauchy-Riemann
- Teorema integrale e formula di Cauchy
- Teorema di Liouville e nuova dimostrazione del TFA
- Ulteriori dimostrazioni del TFA
Informazioni sul programma
Frequenza Fortemente consigliata

Modalità di erogazione: Tradizionale
Propedeuticità
Analisi 1, 2, 3, 4 e Algebra 1, 2
Prerequisiti e modalità di esame
Scritto/ orale
Metodi didattici
Lezioni frontali, in parte dedicate ad esercitazioni
Materiale didattico e bibliografia
I parte
P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri, 1994.

II parte
B. Fine - G. Rosenberger, The fundamental Theorem of Algebra, Springer, 1997
U. Bottazzini-J.J.Gray, Hidden Harmony-Geometric Fantasies. The rise of complex function theory, Springer 2013 (capp. relativi agli argomenti trattati)
Periodo
Primo semestre
ss
Edizione attiva
No
Lezioni: 42 ore
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50