Finanza matematica 2

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è di fornire una introduzione agli argomenti principali relativi ai modelli in tempo continuo di Finanza Matematica, che coinvolgono tecniche avanzate del Calcolo Stocastico e dell'ottimizzazione dinamica.
Calcolo del prezzo per via probabilistica/analitica di derivati finanziari in mercati completi/incompleti descritti da processi stocastici a tempo continuo di tipo diffusivo. Risoluzione di alcuni problemi di ottimizzazione dinamica, tramite metodi di controllo/arresto ottimo.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Programma
I Cenni sui processi stocastici
Moto Browniano. Martingale in tempo continuo. La martingala esponenziale. Traiettorie del MB non a variazione limitata. Variazione quadratica del MB.
L'integrale stocastico rispetto al MB e proprietà di martingala. Processi di Ito e la formula di Ito. Lemma di Novikov e teorema di Girsanov. Proprietà di rappresentazione prevedibile. Esempi di equazioni differenziali stocastiche.

II Modelli in tempo continuo e il modello di Black e Scholes
Descrizione del modello di BS e sua analisi alla luce dei principi generali di valutazione. Verifica dell'esistenza di una misura equivalente di martingala. La formula di BS e sua derivazione (metodo probabilistico e metodo analitico). L'equazione alle derivate parziali di BS. Condizioni finali ed al contorno.
Valutazione di contingent claims in mercati incompleti in tempo continuo. Valutazione con strumenti finanziari non negoziabili: l'equazione alle derivate parziali e il prezzo di mercato del rischio. Il problema della calibrazione.
Volatilità implicita: effetto "smile". Limiti del modello di BS. Cenni ai modelli con volatilità locale e con volatilità stocastica.

III Introduzione al controllo ottimo stocastico.
Esempi di problemi di controllo ottimo deterministico e stocastico. Risoluzione di un problema di controllo ottimo deterministico. Formulazione matematica nel caso stocastico con orizzonte finito: controlli ammissibili, il Principio di Programmazione Dinamica, l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman equation, il Teorema di Verifica Verification Theorem. Applicazioni alla Finanza: il problema di Merton, il controllo lineare quadratico e cenni al problema di investimento consumo.

IV Pricing di opzioni esotiche e americane
Lookback options e Asiatic options. Opzioni americane: problema di optimal stopping. Calcolo del prezzo di American Put Options perpetue: un approccio probabilistico. Calcolo del prezzo di American Put Options con scadenza fissata e American Call Options (senza dividendi).
Propedeuticità
Finanza Matematica 1, Calcolo delle Probabilità, Calcolo Stocastico.
Prerequisiti e modalità di esame
Orale
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna.
Frequenza: Altamente consigliata
Materiale didattico e bibliografia
1. T. Bjork: "Arbitrage Theory in Continuous Time", 3rd edition, Oxford University Press, 2009.
2. H. Pham: "Continuous-time Stochastic control and Optimization with Financial Applications", Springer 2009.
3. A. Pascucci: "Calcolo stocastico per la finanza" Springer, 2008.
4. S. Shreve: "Stochastic Calculus for Finance II", Springer, 2004.
Periodo
Secondo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 14:00-16:00
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1005