Fisica matematica 2

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
6
Crediti massimi
58
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivi: Ricavare e studiare le equazioni a derivate parziali (lineari) della Fisica Matematica; Apprendere ed applicare i metodi per la loro soluzione, in particolare il metodo delle caratteristiche ed il metodo di Fourier.
Capacità di studiare le proprietà delle soluzioni delle principali equazioni differenziali parziali della fisica matematica.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 22 ore
Lezioni: 36 ore
Programma
Il corso affronta gli argomenti di base della teoria delle equazioni a derivate parziali della fisica matematica. Si articola in vari capitoli.

1. Equazione del trasporto. Shock nell'equazione di Burgers inviscida (trasporto non lineare). Classificazione delle equazioni del secondo ordine in due variabili indipendenti a coefficienti costanti (riduzione a equazione Calore, Laplace e Onde)
2. Equazione delle onde in una dimensione spaziale. Deduzione. Soluzione generale dell'equazione su tutto R. Soluzione del problema di Cauchy. Caratteristiche. Domini di dipendenza e domini di influenza. Conservazione dell'energia. Soluzione dell'equazione su una semiretta. Soluzione dell'equazione con condizioni di Dirichlet su un segmento: separazione di variabili, rappresentazione della soluzione tramite serie.
3. Equazione del calore in una dimensione spaziale. Deduzione. Principio del massimo per il problema su un rettangolo nel piano (x,t). Suo uso per dimostrare l'unicita' delle soluzioni. Monotonia dell'energia. Simmetrie dell'equazione su tutto R. Soluzione fondamentale. Suo uso per la costruzione della soluzione generale del problema di Cauchy. Soluzione dell'equazione con condizioni di Dirichlet su un segmento: separazione di variabili, rappresentazione della soluzione tramite serie. Analisi della soluzione. Soluzione dell'equazione sulla semiretta con condizioni dipendenti periodicamente dal tempo (la cantina).
4. Serie di Fourier. Definizione. Convergenza puntuale, uniforme ed in norma elle2. Applicazione alla soluzione dell'equazione di Laplace nel piano (separazione di variabili).
5. Equazioni ellittiche. Sistemi fisici descritti dall'equazione di Laplace e da quella di Poisson. Soluzione dell'equazione id Laplace per domini dalla forma semplice. Formula di Poisson. Formule di Green.Principio del massimo, e applicazione all'unicita' delle soluzioni. Proprieta' variazionali dell'equazione. Funzioni di Green e proprieta' di regolarita' delle soluzioni.
6. Equazione delle onde in 3-d. Formula di Kirchoff (o delle medie sferiche). Conservazione dell'energia e principio di causalita'. Formula di variazione delle costanti arbitrarie. Soluzione dell'equazione non omogenea. Formula dei potenziali ritardati.
7. Elettromagnetismo. Equazioni di Maxwell Lorentz per il campo elettromagnetico in interazione con una particella. Conservazione dell'energia. Potenziali elettromagnetici, equazioni delle onde in gauge di Lorentz. Soluzione nel caso di moto assegnato della particella. Formula di Hertz per l'emissione di una carica in moto accelerato in approssimazione id dipolo (l'energia irraggiata e' proporzionale all'accelerazione).
Prerequisiti e modalità di esame
Scritto ed orale
Metodi didattici
Modalità di frequenza: Fortemente consigliata
Modalità di erogazione: Tradizionale
Materiale didattico e bibliografia
Il testo base seguito e':

Strauss, Walter A. Partial differential equations. An introduction. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1992.

La parte di elettromagnetismo e' coperta da appunti, cosi' come la parte sull'equazione del calore sulla semiretta.
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento: mandatemi una mail
Ricevimento:
Lunedi mattina, dalle 9:30 alle 11:30.
studio 1039, primo piano, Dip. Matematica via Saldini, 50