Calcolo delle probabilità e statistica matematica 1

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
9
Crediti massimi
92
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
1) Fornire le nozioni e gli strumenti di base del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. Il corso si propone di fornire agli studenti i fondamenti della materia al livello richiesto per i corsi che seguiranno nel loro curriculum.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per lo studio ulteriore nell'ambito della statistica, dei processi stocastici e del calcolo stocastico.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
4) Nella parte di laboratorio, fornire le conoscenze di base per la generazione di numeri casuali con preassegnata distribuzione e le applicazioni fondamentali di queste tecniche.
Gli studenti avranno acquisito i fondamenti di teoria della probabilità necessari per ogni ulteriore approfondimento di tipo matematico o applicativo, sia nella direzione della statistica matematica sia per lo studio dei processi stocastici o del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Esercitazioni: 44 ore
Laboratori: 12 ore
Lezioni: 36 ore
Turni:
Turno A
Docente: Villa Elena
Turno B
Docente: Morale Daniela
Programma
1) Teoria della probabilità.
Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità e variabili aleatorie in modelli di esperimenti con un numero finito o numerabile di esiti. Probabilità sull'insieme dei numeri reali.

2) Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.

3) Convergenza di variabili aleatorie.
Convergenza quasi certa, in probabilità, in media di ordine p. Leggi dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Applicazioni alla statistica.

4) Valore atteso condizionato.
Definizione generale di valore atteso condizionato rispetto a una sigma-algebra. Probabilità condizionate e leggi condizionate. Leggi condizionate per vettori gaussiani.

5) Laboratorio: generazione di numeri casuali con distribuzione preassegnata. Metodo della trasformata inversa, metodo del rigetto. Applicazioni.
Informazioni sul programma
E' prevista una prova intermedia.
Una descrizione dettagliata delle modalità di esame sarà resa disponibile dopo l'inizio delle lezioni sulla pagina internet del corso.
La frequenza a lezioni ed esercitazioni non è obbligatoria, ma è molto consigliata.

Pagina web: sito Ariel
Propedeuticità
Geometria 1, Analisi Matematica 1, Analisi Matematica 2, Analisi Matematica 3.
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: Sono richieste la nozioni acquisite nei corsi di Analisi Matematica previsti dal curriculum nei primi tre semestri, in particolare teoria dell'integrazione (compresi integrali impropri, multipli, e cambi di variabili), e successioni di funzioni. Si usano anche nozioni di base in teoria delle matrici (prodotti, matrici ortogonali, matrici definite positive ecc.)

Modalità di esame: Scritto e orale.
Metodi didattici
Lezione frontale per la parte di teoria e di esercitazioni. Attività didattica in aula informatizzata per la parte di laboratorio.
Materiale didattico e bibliografia
Libro di testo.
J. Jacod, Ph. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2 ed.
Altro materiale didattico.
Alcuni argomenti sono oggetto di dispense del docente, disponibili sul sito web del corso.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
A.F. Karr. Probability. Springer, 1993.
P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill, 2007.
P. Baldi, R. Giuliano, L. Ladelli. Laboratorio di Statistica e Probabilità, problemi svolti. McGraw Hill, 1995.
Sheldon M. Ross. A Course in Simulation. Prentice Hall, 1990.
Periodo
Secondo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano
Ricevimento:
lunedì dalle 10 alle 12 previo appuntamento (anche in altri giorni sempre su appuntamento)
Dipartimento di Matematica, via C.Saldini 50, ufficio 2095