Algebra 1

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
9
Crediti massimi
89
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire una introduzione alla matematica e quindi alle sue costruzioni fondamentali: i numeri. Nel corso si affronta la costruzione dei numeri naturali mediante il concetto di insieme; gli insiemi vengono dunque accuratamente introdotti nella prima parte del corso. Si sviluppa inoltre il concetto di struttura algebrica mediante il quale si caratterizzano varie costruzioni di insiemi numerici quali, ad esempio, quella dei numeri interi e quella dei razionali. Si trattano inoltre alcune proprietà aritmetiche dei numeri interi mettendo poi in rilievo la parentela con proprietà algebriche di strutture ad essi collegate.
Acquisizione del linguaggio di base dell'algebra. Conoscenza delle principali strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Tra i risultati specifici che vengono illustrati nel corso ci sono proprietà aritmetiche notevoli dei numeri primi che si deducono da proprietà algebriche degli interi di Gauss. Infine, si acquisiscono i tratti essenziali della teoria dei moduli.

Struttura insegnamento e programma

Algebra 1 (ediz.1)
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3 ore]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Prerequisiti e modalità di esame
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.
Scritto e Orale
Metodi didattici
Lezioni/Esercitazioni
Materiale didattico e bibliografia
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina Editore, 2013
Periodo
Primo semestre
Algebra 1 (ediz.2)
Edizione attiva
Responsabile
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3 ore]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Prerequisiti e modalità di esame
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.
Scritto e Orale
Metodi didattici
Lezioni/Esercitazioni
Materiale didattico e bibliografia
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina Editore, 2013
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Martedì ore 13.30 o su appuntamento dopo contatto per email
Dipartimento di Matematica - Studio 2092
Ricevimento:
Su appuntamento.
Studio 2050 (Sottotetto) - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1026, Via Saldini 50
Ricevimento:
Martedì e giovedì, 14.30-15.30 (per una migliore organizzazione, si consiglia di contattare il docente via email)
Dipartimento di Matematica, II piano, studio 2093