Argomenti avanzati di calcolo delle probabilità

A.A. 2017/2018
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Saranno presentati i problemi, i metodi e i risultati fondamentali di alcuni argomenti riguardanti i sistemi dinamici stocastici, sia nell'ambito dell'ottimizzazione sia del filtraggio stocastico. Si considereranno modelli a tempo discreto e a tempo continuo (questi ultimi descritti da equazioni differenziali stocastiche), e problemi di controllo stocastico su orizzonte finito e infinito. Le principali tecniche impiegate saranno la programmazione dinamica, lo studio dell'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman - comprendente casi di soluzioni con bassa regolarità - le equazioni differenziali stocastiche retrograde o "backward", il principio del massimo di Pontryagin nel caso stocastico. Nell'ambito del filtraggio (cioè del problema di stima ricorsiva Bayesiana) verrano presentate le equazioni fondamentali per la dinamica delle leggi condizionate all'osservazione. Verranno illustrati per sommi capi altri problemi di ottimizzazione, quali arresto ottimo o controllo impulsivo, e verranno presentate applicazioni a modelli di riferimento, ad esempio l'investimento ottimale in Finanza Matematica, e il problema di controllo stocastico lineare quadratico.
Gli studenti che frequentano il corso avranno familiarità con varie classi di problemi di controllo e di ottimizzazione per sistemi stocastici (a tempo discreto, a tempo continuo per modelli descritti da equazioni differenziali stocastiche, su orizzonte finito o infinito) e conosceranno i metodi fondamentali per affrontarli: la programmazione dinamica e le equazioni di Hamilton-Jacobi-Bellman, le equazioni differenziali stocastiche retrograde ("backward"), il principio del massimo stocastico. Avranno anche visto l'analisi di modelli importanti quali i problemi di investimento ottimale in Finanza Matematica e il problemi lineari quadratici. Infine, conosceranno i fondamenti del filtraggio stocastico per sistemi a tempo discreto e continuo.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Programma
1) Controllo ottimo stocastico a tempo discreto.
Sistemi dinamici stocastici controllati, funzionali di costo o guadagno su orizzonte finito o infinito. Funzione valore, programmazione dinamica ed equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Applicazioni a modelli di riferimento.

2) Controllo ottimo di equazioni differenziali stocastiche.
Equazioni differenziali stocastiche controllate, funzionali di costo o guadagno su orizzonte finito o infinito. Funzione valore e principio di programmazione dinamica. Equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) di tipo ellittico o parabolico. Soluzioni regolari dell'equazione HJB e teoremi di verifica. Controllo ottimo lineare quadratico. Introduzione alle soluzioni generalizzate dell'equazione di HJB nel senso della viscosità. Applicazione al problema di investimento ottimale.

3) Equazioni differenziali stocastiche retrograde("backward").
Formulazione e risultati di esistenza e unicità. Rappresentazione probabilistica per soluzioni di equazioni a derivate parziali semilineari e per la funzione valore di un problema di controllo stocastico. Principio del massimo stocastico nel senso di Pontryagin.

4) Introduzione al filtraggio stocastico.
Formulazione del problema ed esempi di processi di osservazione. Le equazioni di filtraggio a tempo discreto. Le equazioni di filtraggio non lineare a tempo continuo per osservazioni con rumore Browniano (Fujisaki-Kallianpur-Kunita e Duncan-Mortensen-Zakai).

5) Cenni ad altri problemi e metodi.
In dipendenza dalle circostanze, durante lo svolgimento del programma potranno essere presentati approfondimenti su vari argomenti, quali il controllo con osservazione parziale, il controllo ergodico, i problemi di arresto ottimale, i problemi di commutazione ("switching") ottimale, il controllo impulsivo.
Informazioni sul programma
Pagina web: sito Ariel
Propedeuticità
Un corso di base di Probabilità (con teoria della misura). Calcolo delle Probabilità. Calcolo Stocastico e Applicazioni.
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: Il corso presuppone la conoscenza dei contenuti di un corso relativamente avanzato di teoria della probabilità (basata sulla teoria della misura). Costituiscono prerequisito del corso, sul quale verranno fatti soltanto dei richiami, anche la conoscenza dell'integrazione stocastica rispetto al moto Browniano, del calcolo stocastico collegato e delle equazioni differenziali stocastiche guidate dal moto Browniano. La frequenza alle lezioni ed esercitazioni non è obbligatoria, ma è molto consigliata.

Modalità d'esame: Orale. L'esame consiste di una prova orale sull'intero programma del corso. La prova può essere preceduta da una domanda scritta di teoria. Non sono previste prove in itinere.
Metodi didattici
Lezione frontale.
Materiale didattico e bibliografia
Libro di testo.
H. Pham. Continuous-time Stochastic Control and Optimization with Financial Applications. Springer, 2009.

Nota: questo testo costituisce la bibliografia consigliata, che copre parte del programma; molti argomenti sono oggetto di dispense del docente, disponibili sul sito web del corso.
Periodo
Primo semestre
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.