Analisi matematica 1

A.A. 2018/2019
Insegnamento per
8
Crediti massimi
72
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire allo studente un'introduzione e un primo approfondimento della conoscenza dell'Analisi Matematica con particolare riferimento ai numeri reali, numeri complessi, successioni e serie numeriche, limiti,
continuità, calcolo differenziale in una variabile. Le nozioni di limite e continuità sono trattate nell'ambito più astratto degli spazi metrici, di cui viene fornita una trattazione semplice ma precisa.

Struttura insegnamento e programma

CORSO A
Edizione attiva
Responsabile
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 8
Esercitazioni: 40 ore
Lezioni: 32 ore
Programma
1. Il campo reale
Insiemi numerici noti: rappresentazione decimale dei razionali. Numeri reali: definizione e principali proprietà. Estremo superiore. Spazi euclidei.

2. Elementi di teoria degli insiemi e spazi metrici
Funzioni: principali proprietà. Insiemi equipotenti: insiemi numerabili, non numerabilità di R. Spazi metrici: intorni, classificazione dei punti. Insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti: loro proprietà. Intervalli chiusi inscatolati e Teorema di Bolzano-Weierstrass.

3. Successioni
Convergenza: definizione e proprietà: unicità e limitatezza. Condizione di Cauchy e completezza di spazi euclidei. Successioni a valori reali: operazioni, permanenza del segno e confronto. Monotonia e limiti. Il numero e di Nepero e i limiti notevoli. Sottosuccessioni: compattezza e classe limite. Simboli di asintotico e o-piccolo.

4. Serie numeriche
Definizioni ed esempi di carattere di una serie. La condizione di Cauchy e quella necessaria per la convergenza. Convergenza assoluta. Serie a termini non negativi e criteri per la convergenza: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice. Criterio di condensazione. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.

5. Limiti e continuità di funzioni
Funzioni tra spazi metrici. Definizione metrica e successionale di limiti e la loro equivalenza. equivalenza. Limiti delle funzioni elementari e di quelle monotone (esistenza del limite). Asintoti al grafico di una funzione. Continuità puntuale e globale in spazi metrici. Controimmagini di aperti e continuità. Continuità e composizione. Continuità e compattezza e teorema di Weierstrass. Continuità uniforme, teorema di Heine-Cantor. Funzioni reali e continue: teorema degli zeri, dei valori intermedi e di Darboux. Funzioni monotone e discontinuità. Continuità dell'inversa.

6. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Derivata: definizione e significato geometrico. Retta tangente. Continuità e derivabilità. Derivata delle funzioni elementari. Derivata e operazioni, composizione e funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Estremanti locali. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari. Concavità e convessità in un intervallo. Punti di flesso. Estremanti relativi.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: algebra e geometria elementare, uso disinvolto di trigonometria, esponenziali e logaritmi nel campo reale.
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale
La prova scritta verte sugli argomenti trattati durante le esercitazioni del corso. Sono previste prove in itinere sugli stessi argomenti il
cui superamento esonera dalla prova scritta.
L'esame orale, cui si accede solo dietro superamento della prova scritta, consiste in una discussione che verte su argomenti trattati nel
corso e/o sulla prova scritta.
Metodi didattici
Modalità di frequenza: fortemente consigliata;
Modalità di erogazione: tradizionale.
Materiale didattico e bibliografia
Materiale di riferimento

P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo.
L. De Michele e G.L. Forti, Analisi Matematica Problemi ed Esercizi, Clup.
Periodo
Primo semestre
CORSO B
Edizione attiva
Responsabile
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 8
Esercitazioni: 40 ore
Lezioni: 32 ore
Programma
1. Il campo reale
Insiemi numerici noti: rappresentazione decimale dei razionali. Numeri reali: definizione e principali proprietà. Estremo superiore. Spazi euclidei.

2. Elementi di teoria degli insiemi e spazi metrici
Funzioni: principali proprietà. Insiemi equipotenti: insiemi numerabili, non numerabilità di R. Spazi metrici: intorni, classificazione dei punti. Insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti: loro proprietà. Intervalli chiusi inscatolati e Teorema di Bolzano-Weierstrass.

3. Successioni
Convergenza: definizione e proprietà: unicità e limitatezza. Condizione di Cauchy e completezza di spazi euclidei. Successioni a valori reali: operazioni, permanenza del segno e confronto. Monotonia e limiti. Il numero e di Nepero e i limiti notevoli. Sottosuccessioni: compattezza e classe limite. Simboli di asintotico e o-piccolo.

4. Serie numeriche
Definizioni ed esempi di carattere di una serie. La condizione di Cauchy e quella necessaria per la convergenza. Convergenza assoluta. Serie a termini non negativi e criteri per la convergenza: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice. Criterio di condensazione. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.

5. Limiti e continuità di funzioni
Funzioni tra spazi metrici. Definizione metrica e successionale di limiti e la loro equivalenza. equivalenza. Limiti delle funzioni elementari e di quelle monotone (esistenza del limite). Asintoti al grafico di una funzione. Continuità puntuale e globale in spazi metrici. Controimmagini di aperti e continuità. Continuità e composizione. Continuità e compattezza e teorema di Weierstrass. Continuità uniforme, teorema di Heine-Cantor. Funzioni reali e continue: teorema degli zeri, dei valori intermedi e di Darboux. Funzioni monotone e discontinuità. Continuità dell'inversa.

6. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Derivata: definizione e significato geometrico. Retta tangente. Continuità e derivabilità. Derivata delle funzioni elementari. Derivata e operazioni, composizione e funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Estremanti locali. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari. Concavità e convessità in un intervallo. Punti di flesso. Estremanti relativi.
Propedeuticità
Nessuna
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: algebra e geometria elementare, uso disinvolto di trigonometria, esponenziali e logaritmi nel campo reale.
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale
La prova scritta verte sugli argomenti trattati durante le esercitazioni del corso. Sono previste prove in itinere sugli stessi argomenti il
cui superamento esonera dalla prova scritta.
L'esame orale, cui si accede solo dietro superamento della prova scritta, consiste in una discussione che verte su argomenti trattati nel
corso e/o sulla prova scritta.
Metodi didattici
Modalità di frequenza: fortemente consigliata;
Modalità di erogazione: tradizionale.
Materiale didattico e bibliografia
Materiale di riferimento

P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo.
L. De Michele e G.L. Forti, Analisi Matematica Problemi ed Esercizi, Clup.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 15.30-17.30
ufficio 2044 (Dipartimento di Matematica, via Saldini 50- II piano)
Ricevimento:
LUN e MER 15.30-16.30 e per appuntamento
Studio 2051 nel "sottotetto" del Dip. Matematica - v. Saldini 50
Ricevimento:
giovedì ore 11-12 e 14-16 o su appuntamento
stanza 2051 (sottotetto), Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
consultare pagina web
Via Saldini 50 studio n. 2095 (2 piano)