Elaborazione dei segnali

A.A. 2018/2019
Insegnamento per
6
Crediti massimi
48
Ore totali
SSD
INF/01
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si pone l'obiettivo di fornire le competenze di base dell'elaborazione numerica dei segnali digitali. Oltre ai fondamenti teorici, si affronteranno le principali tecniche di analisi e filtraggio dei segnali numerici, anche attraverso alcuni strumenti software (Matlab).

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
INF/01 - INFORMATICA - CFU: 6
Lezioni: 48 ore
Docente: Sassi Roberto
STUDENTI FREQUENTANTI
Programma
PROGRAMMA DETTAGLIATO DEL CORSO

PARTE PRIMA
· Introduzione
- Definizione di segnale e sistema.
- Tempo-continuo vs tempo-discreto.
- Segnali periodici e principali identità trigonometriche (ripasso).
- Numeri complessi (ripasso). Formula di Eulero diretta e inversa.
· Segnali sinusoidali a tempo continuo
- Segnale esponenziale complesso. Algebra dei fasori.
- Composizione lineare di esponenziali complessi.
- Spettro di un segnale composto da esponenziali complessi.
- Prodotto di due sinusoidi. Battimenti (beat tones). Modulazione di ampiezza (introduzione).
- Spettro di un segnale sinusoidale a tempo continuo.
- Proprietà dello spettro di un segnale: moltiplicazione per una costante, somma con una costante, somma di due segnali, traslazione temporale, derivata, moltiplicazione per un esponenziale complesso.
· Segnali periodici
- Periodo di un segnale periodico e frequenze armoniche della fondamentale.
- Serie di Fourier: formule di analisi e sintesi per un segnale tempo-continuo periodico.
- Spettro di un segnale periodico.
- Condizioni di Dirichlet di esistenza della serie di Fourier.
- Prodotto scalare in uno spazio vettoriale e nella rappresentazione cartesiana (ripasso).
- Ortogonalità di due vettori (ripasso).
- Ortogonalità di due funzioni tempo-continue (definizione). Ortogonalità di due esponenziali complessi aventi frequenze diverse.
- Esempio di serie di Fourier: segnale a impulsi ("pulse wave").
- Funzione seno cardinale (definizione e proprietà).
- Sintesi approssimata della serie di Fourier. Frequenza istantanea (cenni introduttivi).
- Modulazione di frequenza e frequenza istantanea di un segnale.
· Dal tempo-continuo al tempo-discreto (e viceversa)
- Campionamento ideale di segnali tempo-continui (introduzione).
- Campionamento di una sinusoide tempo continua: frequenze discrete.
- Equivalenza delle frequenze discrete: alias e alias principale.
- Ricostruzione di una sinusoide tempo continua campionata: ineluttabilità della ricostruzione del solo alias principale.
- Teorema del campionamento o di Shannon. Definizione di Nyquist rate e Nyquist frequency.
- Campionamento di una sinusoide tempo continua e la sua ricostruzione, alla luce del teorema del campionamento. Effetto di: sovra-campionamento; sotto-campionamento a frequenza maggiore, minore o uguale alla frequenza massima del segnale.
- Interpolazione lineare. Ricostruzione per interpolazione lineare. Altri "kernel" di interpolazione e definizione di interpolatore ottimo.
· Filtri digitali
- Filtri FIR (Finite Impulse Response): introduzione.
- Definizione di impulso discreto. Risposta all'impulso di un filtro.
- Risposta all'impulso di un sistema ritardo.
- Operazione di convoluzione: definizione e esempio applicativo.
- Proprietà della convoluzione: commutativa; associativa; distributiva rispetto alla somma. Elemento neutro della convoluzione.
- Proprietà di un sistema digitale: tempo invarianza e linearità.
- Sistemi lineari e tempo invarianti (LTI).
- Uscita di un sistema LTI come prodotto di convoluzione tra segnale di ingresso e risposta all'impulso.
- Uscita di un sistema LTI quando l'ingresso è una sinusoide complessa. Risposta in frequenza di un sistema LTI.
- Filtri FIR come sottoinsieme dei filtri LTI. Risposta all'impulso e risposta in frequenza: legame tra le due rappresentazioni di un sistema LTI nel caso di filtri FIR.
- Proprietà della risposta in frequenza: periodicità e simmetria coniugata.
- Risposta in frequenza di un amplificatore ideale.
- Composizione di sistemi (cascata o serie; parallelo).

PARTE SECONDA
· Trasformata di Fourier a Tempo Discreto (DTFT)
- Definizione. Proprietà della DTFT: periodicità e simmetria coniugata; linearità; unicità; ritardo temporale; ritardo in frequenza; convoluzione.
- Esempi di DTFT: 1) impulso discreto; 2) esponenziale causale.
- Trasformata di Fourier a Tempo Discreto Inversa (ITDFT): definizione.
- Esempio IDTFT: filtro passabasso ideale.
- Condizioni di esistenza della DTFT.
- Modulazione d'ampiezza (approfondimenti).
· Studio dei sistemi nel domino delle frequenze
- Risposta in frequenza di un sistema come DTFT della risposta all'impulso. Uscita di un sistema LTI come prodotto della risposta in frequenza e della DTFT del segnale in ingresso.
- Uscita di un sistema LTI come composizione lineare degli effetti del sistema sulle singole (infinite) sinusoidi in cui la DTFT decompone il segnale di ingresso.
- Filtri ideali: definizione e modulo della loro DTFT.
- Operazione di correlazione e legame con la convoluzione.
- DTFT della correlazione di due segnali a tempo-discreto.
- Energia del segnale e teorema (o legge di conservazione) di Parseval.
· Trasformata Discreta di Fourier e sue applicazioni
- DTFT di un segnale composto da un numero finito di campioni.
- Introduzione alla Trasformata Discreta di Fourier (DFT).
- Modulo e fase della DFT. Numero di campioni in frequenza e risoluzione spettrale.
- DFT come operatore lineare (matriciale).
- DFT inversa (IDFT): definizione.
- Periodicità della DFT e della IDFT: implicita periodicizzazione della sequenza x[n].
- Operazione di zero-padding (bordatura con zeri) di un segnale tempo-discreto.
- Implicazioni della periodicizzazione implicita imposta a x[n] dalla DFT: ritardo e traslazione circolare/periodica; convoluzione circolare e DFT. Zero padding come possibile rimedio allorquando si usa la IDFT per calcolare la convoluzione di due sequenze limitate nel tempo (evitando gli effetti della convoluzione circolare).
- Algoritmo Fast Fourier Transform (FFT): introduzione e idea fondamentale alla base dell'algoritmo di calcolo. Stima del numero di moltiplicazioni necessarie per la DFT secondo definizione o utilizzando l'algoritmo FFT.
- Estensione del teorema di Parseval ai coefficienti della DFT.
· Filtri IIR (Infinite Impulse Response)
- Sistemi LTI descritti da equazione alle differenze contenente anche una parte autoregressiva.
- Soluzione iterativa di equazione alle differenze del primo ordine.
- Sistemi IIR: i) calcolo della risposta in frequenza come DTFT della risposta all'impulso; ii) calcolo della risposta in frequenza tramite il calcolo della DTFT dell'equazione alle differenze; iii) risposta in frequenza di un filtro LTI a partire dall'equazione alle differenze completa.
· Trasformata zeta e sue applicazioni ai sistemi LTI
- Definizione. Proprietà: i) ritardo; ii) convoluzione.
- Funzione di trasferimento come trasformata zeta della risposta all'impulso di un sistema.
- Funzione di trasferimento della cascata (o serie) di due sistemi LTI.
- Esempio di trasformata zeta: esponenziale causale.
- Regione di convergenza (ROC) della trasformata zeta.
- Scalino anticausale e sua ROC.
- Zeri e poli di una trasformata zeta.
- Diagramma poli-zeri.
- Funzione di trasferimento di un generico sistema LTI. Numero di poli e zeri e ordine del filtro.
- Effetto della presenza di un polo (o di uno zero) sul modulo della trasformata zeta.
- Risposta in frequenza ottenuta dalla valutazione della trasformata zeta sul cerchio di raggio unitario (se incluso nella ROC).
- Stime empiriche dell'andamento del modulo della risposta in frequenza a partire dal diagramma poli-zeri.
- Casi particolare: 1) Poli e zeri di un filtro FIR; 2) Sistemi IIR "all poles" con zeri solo in 0; 3) Sistemi FIR a cui vengono aggiunti poli e zeri coincidenti e loro formulazione IIR apparente.
- Scomposizione di un sistema IIR in più sistemi applicati in cascata.
- Definizione di sistema inverso. Deconvoluzione (cenni).
- Trasformata zeta inversa tramite espansione in fratti semplici. Metodo dei residui (solo per poli singoli).
- Definizione di stabilità Bounded Input Bounded Output (BIBO) di un sistema.
- Assoluta sommabilità dei coefficienti della risposta all'impulso come condizione sufficiente e necessaria per la stabilità di un sistema LTI. Derivazione della parte sufficiente della condizione.
- Sistemi BIBO stabili e conseguenze derivanti dalla condizione di assoluta sommabilità della risposta all'impulso: appartenenza alla ROC della funzione di trasferimento del cerchio di raggio unitario.
- Condizioni di stabilità per sistemi causali e anticausali in termini della posizione dei loro poli.
- Cenni sull'instabilità dei filtri IIR indotta dall'approssimazione dei coefficienti del filtro, durante l'implementazione pratica.
· Progettazione di filtri digitali
- Progettazione di filtri IIR tramite collocamento diretto di poli e zeri. Esempio: progettazione di un filtro notch per la rimozione della interferenza di rete.
- Filtri IIR classici: filtro di Butterworth.
- Progettazione di filtri reali e loro specifiche.
- Introduzione alla progettazione di filtri FIR tramite il metodo delle finestre.
Prerequisiti e modalità di esame
L'esame si articola in una prova scritta obbligatoria, che consente di conseguire una votazione fino a 30/30, e una prova orale, anch'essa obbligatoria.

La prova scritta richiede:
- la soluzione di esercizi di tipo applicativo (aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati negli esercizi assegnati agli studenti come homeworks e discussi a lezione).
- la risposta a quesiti teorici.
Durante la prova scritta non è ammessa la consultazione di testi o appunti.

La prova orale consiste soprattutto in una discussione del compito scritto, integrata da brevi domande.
Materiale didattico e bibliografia
Libro:
James H. McClellan, Ronald W. Schafer, Mark A. Yoder
Digital Signal Processing First, Second edition (o DSP First, 2nd edition)
Pearson Education, 2016. ISBN-13: 978-1292113869.

Il sito di riferimento con le infomazioni e le note delle lezioni è:
https://rsassies.ariel.ctu.unimi.it/
STUDENTI NON FREQUENTANTI
Programma
Il programma per non frequentanti è analogo a quello per frequentanti.
Prerequisiti e modalità di esame
Analoghe a quelle per frequentanti.
Materiale didattico e bibliografia
Analogo a quello per frequentanti.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (concordato per email o telefono)
Dipartimento di Informatica, via Celoria 18, stanza 6004 (6 piano, ala Ovest), Milano o Polo didattico di Crema (CR)