Matematiche elementari dal p.v.s.1

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/04
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire una introduzione alla teoria assiomatica degli insiemi secondo Zermelo-Fraenkel. Saranno date le nozioni di insieme finito e infinito, e
introdotti i numeri naturali, i numeri ordinali e i numeri cardinali, che verranno studiati con le rispettive proprietà e aritmetiche. Inoltre si studieranno varie formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta, sottolineando la portanza di tale assioma sia dal punto di vista dei fondamenti che della pratica matematica.
Acquisizione di consapevolezza della necessità di una teoria rigorosa formale e assiomatica degli insiemi, in contrasto con la trattazione ingenua, usualmente utilizzata come base per la matematica. Capacità critica dell'utilizzo degli assiomi e comprensione del ruolo dei paradossi.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Programma
Introduzione: generalità sui linguaggi e sulle teorie del I ordine. Il linguaggio della teoria degli insiemi.
Insiemi astratti. Relazione di appartenenza. Assioma di estensionalità.
Assiomi del vuoto, della coppia, dell'unione e della potenza.
Assioma di separazione. Introduzione delle operazioni tra insiemi. Non esistenza di un insieme universale.
Relazioni e funzioni, famiglie e prodotti di famiglie di insiemi.
Cardinalità. Teorema di Cantor. Teorema di Cantor, Bernstein, Schröder.
Insiemi riflessivi. Successore. Insiemi ereditari. Assioma dell'infinito. L'insieme ω dei numeri naturali.
Principio di induzione, di induzione forte, del minimo. Proprietà di ω. Assiomi di Peano. Operazioni sui naturali.
Insiemi finiti. Assioma di scelta.
Teorema di Ricorsione primitiva su ω. Principio di induzione e ricorsione su buon ordini. Insiemi infiniti. Confronto tra insiemibene ordinati. Ordinali (di Von Neumann). Confronto tra ordinali.
Assioma di rimpiazzamento. Principio del buon ordinamento. Cenni
all'aritmetica ordinale. Cardinali. Cenni all'aritmetica cardinale. Insiemi numerabili.
Equivalenza tra: Assioma della scelta-Lemma di Zorn-Principio del buon ordinamento-Principio di tricotomia-Lemma di Tuckey- Ogni spazio vettoriale ha una base.
Alcune conseguenze importanti dell'assioma della scelta.
Prerequisiti e modalità di esame
L'esame si compone di una prova orale in cui si appura la conoscenza dello studente dei risultati teorici presentati durante il corso, delle loro relative dimostrazioni nonché la capacità dello studente di applicare e collegare tra loro i vari argomenti visti.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale didattico e bibliografia
-P. R. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
-G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, Bollati Boringhieri,1994.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50