Calcolo stocastico ed applicazioni

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è quello di fornire un'introduzione ai metodi del calcolo stocastico, con particolare riferimento al calcolo alla Ito.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, con particolare riferimento alla classe dei processi di Markov, e quindi al processo di Wiener, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Viene fornita una costruzione dell'integrale di Ito, sia in L2 sia come limite in probabilità. Il corso si dedica anche allo studio delle proprietà di martingalità del processo di Ito che seguono a cascata da quelle del processo di Wiener. Di particolare interesse è l'analisi delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali alla Ito e ai legami con le PDE.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici. Particolare attenzione è data alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà dei processi stocastici di Markov, e del processo di Wiener; è capace di cogliere le principali proprietà probabilistiche relative alla costruzione dell'integrale di Ito, in particolare relative alla marginalità. Conosce le principali proprietà delle equazioni differenziali alla Ito e le relazioni con le PDE. Vede dei primi esempi di modellizzazione stocastica dell'aleatorietà in sistemi già noti da un punto di vista deterministico. Sa simulare sistemi di equazioni differenziali stocastiche e quantificare le proprietà delle soluzioni attraverso delle procedure statistiche.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Programma
1. Teoria dei Processi Stocastici
1.1. Processi Stocastici
1.1.1. Introduzione ai processi stocastici: misurabilità e leggi delle traiettorie
1.1.2. Esempi di processi stocastici (Gaussiani, Levy, Markov)
1.1.3. Studio dei processi di Markov
- Caratterizzazione attraverso la funzione di transizione di Markov
- Semigruppo di trasniszione e operatore infinitesimale associato ad un processo di Markov
- Processo di Markov omogeneo
1.1.4. Processi di Markov e martingale: la formula di Dynkin.
1.1.3. Moto Browniano e Processo di Wiener
- Esistenza del processo di Wiener
- Caratterizzazione come processo gaussiano
- Il processo di Wiener come martingala e il suo quadrato come submartingala
- Il teorema di Levy: caratterizzazione del processo di Wiener
- La variazione quadratica
- Proprietà delle traiettorie del processo di Wiener: il principio di riflessione, la legge del logaritmo iterato, q.c. non differentiabilità, q.c. continuità
- Il caso multidimensionale

1.2. Integrale di Ito
1.2.1. Definizioni e proprietà: integrale in L2 e come limite in probabilità
1.2.2. Processo di Ito : proprietà e martingalità
1.2.3. Il differenziale stocastico
1.2.4. Formula di Ito
1.2.5. Gli esponenziali browniani
1.2.5. Teorema di rappresentazione per Martingale

1.3. Equazioni differenziali stocastiche
1.3.1. Teoremi di esistenza ed unicità.
1.3.2. La proprietà di Markov delle soluzioni
1.3.3. Equazioni di Kolmogorov
1.3.4. Il Teorema di Feyman-Kac
1.3.5. Teorema di Girsanov
1.3.6. SDE e PDE: problemi di Cauchy
1.3.7. SDE multidimensionali

1.4. Stabilità (non tutti gli anni)
1.4.1 Comportamento asintotico e stabilità
1.4.2. Distribuzioni invariante

LABORATORIO

2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastiche e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto Browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto Browniano
2.4. L'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich
- Proprietà dell'integrale di Ito
2.5. Equazioni differenziali
- Simulare equazioni differenziali ordinarie (ODE): metodo di Eulero e Heun
- Simulare equazioni differenziali stocastiche (SDE)
- Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
- Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
- Sistemi epidemiologici e in dinamica di popolazione
- Sistemi di particelle interagenti
- sistemi in Finanza
Propedeuticità
Analisi Matematica 3-4 (fortemente consigliata)
Calcolo delle Probabilità (fortemente consigliata)
Fisica Matematica 1 e 3
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti:
Calcolo Differenziale ed integrale
Equazioni differenziali ordinarie

L'esame consta di due parti:
-Una parte di laboratorio: settimanalmente gli studenti devono svolgere in gruppi definiti dal docente degli homework. Tutti saranno valutati, ma solo gli ultimi due contribuiscono alla definizione del voto finale.
-Una prova orale in cui si appura la conoscenza dei risultati teorici presentati durante il corso, delle loro relative dimostrazioni nonché la capacità dello studente di applicare e collegare tra loro i vari argomenti
Metodi didattici
Modalità di frequenza: Obbligatoria
Modalità di erogazione: Tradizionale
Materiale didattico e bibliografia
1.V.Capasso, D. Bakstein An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes. Theory, models, and applications to Finance, Biology and Medicine.
Birkhauser, Boston, 2015.
2.P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017
3.Dispense dei docenti
Periodo
Secondo semestre
Periodo
Secondo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano