Algebra 1

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
9
Crediti massimi
89
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire una introduzione alla matematica e quindi alle sue costruzioni fondamentali: i numeri e le strutture algebriche. Nel corso si affronta la costruzione dei numeri naturali mediante il concetto di insieme. Si sviluppa il concetto di struttura algebrica mediante il quale si caratterizzano varie costruzioni di insiemi numerici quali, ad esempio, quella dei numeri interi e quella dei razionali. Si trattano inoltre alcune proprietà aritmetiche dei numeri interi mettendo poi in rilievo il legame con proprietà algebriche di strutture ad essi collegate.
Acquisizione del linguaggio di base dell'Algebra. Conoscenza delle principali strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Infine, si acquisiscono i tratti essenziali della teoria dei moduli.

Struttura insegnamento e programma

Algebra 1 (ediz. 1)
Edizione attiva
Responsabile
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Richiami su insiemi, relazioni tra insiemi e funzioni. Teorema di Cantor. Numeri naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Assioma della scelta. Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi numerabili e cardinalità. Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine. Reticoli. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e a ideali principali (PID). Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. Basi e rango di un modulo.
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.

L'esame si articola in una prova scritta a cui segue una prova orale (se la prova scritta è superata). La prova scritta richiede la soluzione di esercizi ed è volta ad accertare le capacità di risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici affrontati nel corso.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni
Materiale didattico e bibliografia
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina, 2013
D.Dikranjan, M.S.Lucido: Aritmetica e Algebra. Liguori, 2007
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra. Liguori, 1994
Periodo
Primo semestre
Algebra 1 (ediz.2)
Edizione attiva
Responsabile
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Programma
Richiami su insiemi, relazioni tra insiemi e funzioni. Teorema di Cantor. Numeri naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Assioma della scelta. Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi numerabili e cardinalità. Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine. Reticoli. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e a ideali principali (PID). Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. Basi e rango di un modulo.
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.

L'esame si articola in una prova scritta a cui segue una prova orale (se la prova scritta è superata). La prova scritta richiede la soluzione di esercizi ed è volta ad accertare le capacità di risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici affrontati nel corso.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni
Materiale didattico e bibliografia
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina, 2013
D.Dikranjan, M.S.Lucido: Aritmetica e Algebra. Liguori, 2007
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra. Liguori, 1994
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento.
Studio 2050 (Sottotetto) - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1026, Via Saldini 50
Ricevimento:
Martedì e giovedì, 14.30-15.30 (per una migliore organizzazione, si consiglia di contattare il docente via email)
Dipartimento di Matematica, II piano, studio 2093