Calcolo delle probabilità e statistica matematica 1

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
9
Crediti massimi
90
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
1) Fornire le nozioni e gli strumenti di base del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. Il corso si propone di esporre agli studenti i fondamenti della materia al livello richiesto per i corsi che seguiranno nel loro curriculum.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per lo studio ulteriore nell'ambito della statistica, dei processi stocastici e del calcolo stocastico.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (legge dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
4) Nella parte di laboratorio, fornire le conoscenze di base per la generazione di numeri casuali con preassegnata distribuzione e le applicazioni fondamentali di queste tecniche.
Gli studenti avranno acquisito i fondamenti di teoria della probabilità necessari per ogni ulteriore approfondimento di tipo matematico o applicativo, sia nella direzione della statistica matematica sia per lo studio dei processi stocastici o del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 33 ore
Laboratori: 12 ore
Lezioni: 45 ore
Turni:
Turno A
Docente: Maurelli Mario
Turno B
Docente: Morale Daniela
Programma
1) Teoria della probabilità.
Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità e variabili aleatorie in modelli di esperimenti con un numero finito o numerabile di esiti. Probabilità sull'insieme dei numeri reali.

2) Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.

3) Convergenza di variabili aleatorie.
Convergenza quasi certa, in probabilità, in media di ordine p. Leggi dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Applicazioni alla statistica.

4) Valore atteso condizionato.
Definizione generale di valore atteso condizionato rispetto a una sigma-algebra. Probabilità condizionate e leggi condizionate. Leggi condizionate per vettori gaussiani.

5) Laboratorio: generazione di numeri casuali con distribuzione preassegnata. Metodo della trasformata inversa, metodo del rigetto. Applicazioni.
Propedeuticità
Geometria 1, Analisi Matematica 1, Analisi Matematica 2, Analisi Matematica 3.
Prerequisiti e modalità di esame
Prerequisiti: Sono richieste le nozioni acquisite nei corsi di Analisi Matematica previsti dal curriculum nei primi tre semestri, in particolare teoria dell'integrazione (compresi integrali impropri, multipli, e cambi di variabili), e successioni di funzioni. Si usano anche nozioni di base in teoria delle matrici (prodotti, matrici ortogonali, matrici definite positive ecc.). Durante il corso vengono richiamati e utilizzati concetti e risultati di teoria della misura, che sono trattati in modo sistematico nel corso di Analisi Matematica 4 che si tiene nello stesso semestre.

Modalità di esame: L'esame si articola in una prova scritta a cui segue una prova orale (se la prova scritta è superata). La prova scritta può essere sostituita da due prove intermedie, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso.
La prova scritta richiede la soluzione di esercizi aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni, ed è volta ad accertare le capacità acquisite a risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso.
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti a programma, volto prevalentemente ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici affrontati nel corso.

Una descrizione molto dettagliata delle modalità di esame sarà resa disponibile dopo l'inizio delle lezioni sulla pagina internet del corso.
Metodi didattici
Lezione frontale per la parte di teoria e di esercitazioni. Attività didattica in aula informatizzata per la parte di laboratorio.
La frequenza a lezioni, esercitazioni e laboratorio non è obbligatoria, ma è molto consigliata.
Durante alcune edizioni del corso possono essere organizzate attività di tutorato.
Materiale didattico e bibliografia
Libro di testo.
J. Jacod, Ph. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2 ed.
Altro materiale didattico.
Alcuni argomenti sono oggetto di dispense del docente, disponibili sul sito web del corso.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
A.F. Karr. Probability. Springer, 1993.
P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill, 2007.
P. Baldi, R. Giuliano, L. Ladelli. Laboratorio di Statistica e Probabilità, problemi svolti. McGraw Hill, 1995.
V. Capasso, D. Morale. Guida allo Studio della Probabilità e della Statistica Matematica. Esculapio Editore, 2013 (il capitolo sulla simulazione).
Sheldon M. Ross. A Course in Simulation. Prentice Hall, 1990.
Periodo
Secondo semestre
Periodo
Secondo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.
Ricevimento:
Lunedì 16-18 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), secondo piano, studio 2115
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano