Argomenti avanzati di finanza matematica

A.A. 2019/2020
Insegnamento per
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
SECS-S/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Approfondimenti di alcuni temi della finanza matematica: l'analisi della teoria delle misure di rischio e per la gestione e controllo del rischio finanziario, la valutazione di opzioni in mercati incompleti sulla base del criterio della massimizzazione dell'utilità attesa.
Metodi di analisi convessa e di ottimizzazione, valutazione e gestione del rischio finanziario.

Struttura insegnamento e programma

Edizione attiva
Responsabile
SECS-S/06 - METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Frittelli Marco
Programma
I Richiami del corso di Finanza Matematica 1
Il principio di non arbitraggio. La valutazione delle opzioni. Completezza e incompletezza del mercato. I teoremi fondamentali di valutazione. Il prezzo di super-replicazione.

II Cenni di Analisi convessa
Spazi duali e topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare. Funzioni convesse, funzioni coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau. Lo spazio ba, duale topologico di L^infty, Il teorema di Yosida-Hewitt. Il teorema di Penot-Volle sulle funzioni quasi-convesse e lsc. Il teorema di Namioka-Klee e la sua estensione a mappe convesse e monotone.

III Misure di Rischio
Misure di Rischio (MdR) monetarie, MdR coerenti e convesse. Proprietà e interpretazione finanziaria. Implicazioni fra le diverse proprietà delle MdR. Proprietà "cash additive": condizione necessaria e sufficiente per la rappresentazione delle MdR attraverso gli insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ. Lipschitz continuità.
MdR quasi-convesse e cash-subadditive. Proprietà e rappresentazione attraverso la famiglia A=(A_m) d'insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ.
Esempi: V@R, Worst RM, MdR entropica, certo equivalente.
Rappresentazione duale delle MdR quasi-convesse e monotone utilizzando il teorema di Penot-Volle. Rappresentazione duale delle MdR coerenti e convesse utilizzando il teorema di Fenchel-Moreau.
Equivalenti condizioni di continuità per ρ monotone e quasi-convesse definite su L^infty. Continuità dall'alto e dal basso. La proprietà di Lebesgue e la rappresentazione con il max. Formula alternativa per la funzione di penalità. Analisi della MdR "worst" e della MdR entropica. Formulazione variazionale della MdR entropica.
Rappresentazione delle MdR coerenti attraverso il teorema di dualità per il prezzo di super replicazione.
MdR condizionali e dinamiche. Proprietà di regolarità. Rappresentazione duale delle MdR condizionali (Scandolo-Detlefsen). Consistenza temporale. Spazi e cuore di Orlicz: definizioni e proprietà. Misure di rischio definite su spazi di Orlicz e loro rappresentazione duale.

IV Sul mercato finanziario
Modello di mercato finanziario generale. Il cono K dei claims replicabili e il cono C dei claims super replicabili e limitati. Misure "separanti" M (misure di martingala) e loro caratterizzazione. Le condizioni di NA, NFL, NFLVR.

V Massimizzazione dell'utilità attesa.
Le diverse ipotesi sulla funzione d'utilità u e conseguenze sulla sua funzione coniugata. Esempi.
Funzioni coniugate concave.
Il problema duale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa.
Il problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità Q, su L^infty e su L^1. Misure a entropia finita. Esempi di calcolo di (U_Q)(x) e uguaglianza fra (U_Q)(x), (U^Q)(x) e I(x,Q).
Sul funzionale U dell'utilità ottimale.
La misura Minimax. Il funzionale coniugato del funzionale integrale. Cenni ai teoremi di Rockafellar e di dualità di Fenchel. Il teorema minimax.
Condizioni equivalenti a U(x)Rappresentazione duale del problema di massimizzazione dell'utilità in mercati incompleti. Esempi: minimal variance, minimal entropy, minimal infty norm.
Relazione di dualità con contingent claims. La rappresentazione duale dell'entropia relativa. Interpretazione finanziaria dell'entropia relativa.
Valutazioni delle opzioni attraverso le misure minimax. Il "Fair price" di Davis.
Il certo equivalente dinamico e proprietà.
Il prezzo d'indifferenza (seller e buyer) e relazione con le misure di rischio. Proprietà del prezzo d'indifferenza e sua rappresentazione duale.
VI Misure di rischio sistemico
Definizioni di misure di rischio sistemico e funzione di aggregazione, rappresentazione duale e soluzione duale ottimale, misure di probabilita' eque, equita' dell'allocazione (aleatoria) e allocazioni del rischio eque, l'allocazione ottimale, interpretazione sulla base della massima utilita' attesa.
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna.
Materiale didattico e bibliografia
Dispense del docente.
H. Follmer, A. Schied: "Stochastic Finance", 3rd Edition, de Gruyter, 2010.
C. Aliprantis, K. Border: "Infinite Dimensional Analysis", 3rd Edition, Springer 2006.
Periodo
Primo semestre
Periodo
Primo semestre
Modalità di valutazione
Esame
Giudizio di valutazione
voto verbalizzato in trentesimi
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 14:00-16:00
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50