Algebra omologica
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'obiettivo di questo corso è quello di dare una introduzione ai principali strumenti dell'algebra omologica.
Risultati apprendimento attesi
Capacità di calcolo mediante funtori derivati e successioni spettrali in vari contesti dell'algebra e della geometria.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
L'algebra omologica è uno strumento essenziale utilizzato in vari ambiti della matematica, in particolare in Algebra, Topologia, Geometria Algebrica: informalmente possiamo pensare all'omologia come all'analogo algebrico del concetto di omotopia per spazi topologici.
Durante questo corso si apprenderanno gli elementi fondamentali, a cominciare dal linguaggio, necessari per lo studio di invariati algebrici associati ad oggetti di natura geometrico/topologica. Ad esempio la coomologia dei fasci o la coomologia di gruppi. Nel corso studieremo più in generale il seguente problema: dato un funtore non-esatto definito su una categoria abeliana (ad esempio il prodotto tensore di moduli su un anello, o il funtore sezioni globali per un fascio di gruppi abeliani su uno spazio topologico), come possiamo misurare la sua non-esattezza?
Più in dettaglio, verrano coperti i seguenti argomenti:
- Definizioni e strumenti fondamentali dell'algebra omologica: categorie esatte, categorie abeliane.
- Sequenze spettrali: costruzione e convergenza.
- Funtori derivati e risoluzioni. Categorie derivate. Ext e Tor. Sequenze spettrali e funtori derivati.
- Topologie di Grothendieck e coomologia di fasci (Cech, derived).
Durante questo corso si apprenderanno gli elementi fondamentali, a cominciare dal linguaggio, necessari per lo studio di invariati algebrici associati ad oggetti di natura geometrico/topologica. Ad esempio la coomologia dei fasci o la coomologia di gruppi. Nel corso studieremo più in generale il seguente problema: dato un funtore non-esatto definito su una categoria abeliana (ad esempio il prodotto tensore di moduli su un anello, o il funtore sezioni globali per un fascio di gruppi abeliani su uno spazio topologico), come possiamo misurare la sua non-esattezza?
Più in dettaglio, verrano coperti i seguenti argomenti:
- Definizioni e strumenti fondamentali dell'algebra omologica: categorie esatte, categorie abeliane.
- Sequenze spettrali: costruzione e convergenza.
- Funtori derivati e risoluzioni. Categorie derivate. Ext e Tor. Sequenze spettrali e funtori derivati.
- Topologie di Grothendieck e coomologia di fasci (Cech, derived).
Prerequisiti
Si daranno per acquisite alcune nozioni di base di algebra e topologia, nonché una certa dimestichezza con la teoria delle categorie (saranno sufficienti gli elementi acquisiti durante il corso di Algebra 4).
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
Verranno indicati mano a mano dei riferimenti puntuali durante il corso. Alcune referenze:
1) "An Introduction to Homological Algebra" by Charles A. Weibel;
2) "Categories and Sheaves" by Masaki Kashiwara and Pierre Shapira;
3) "Introduction to Étale Cohomology" by Günter Tamme.
1) "An Introduction to Homological Algebra" by Charles A. Weibel;
2) "Categories and Sheaves" by Masaki Kashiwara and Pierre Shapira;
3) "Introduction to Étale Cohomology" by Günter Tamme.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Una serie di esercizi sarà assegnata durante il corso, e le soluzioni dovranno essere inviate ai docenti entro la fine delle lezioni. La valutazione finale avverrà tramite un esame orale diviso in tre parti:
- discussione delle soluzioni degli esercizi
- domande sui contenuti e le dimostrazioni del corso
- sintetica presentazione di un tema scelto dallo studente fra un ventaglio di proposte correlate ai contenuti del corso
- discussione delle soluzioni degli esercizi
- domande sui contenuti e le dimostrazioni del corso
- sintetica presentazione di un tema scelto dallo studente fra un ventaglio di proposte correlate ai contenuti del corso
Docente/i