Equazioni alle derivate parziali
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha come obiettivo quello di presentare i concetti di base della teoria moderna delle Equazioni alle Derivate parziali.
Risultati apprendimento attesi
Apprendimento delle nozioni di base e delle tecniche per risolvere equazioni alle derivate parziali. Studio dei legami con la teoria degli spazi funzionali e di vari proprietà fondamentali, come principio di massimo, soluzioni deboli e teoria della regolarità.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
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Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Equazione di Laplace: soluzioni fondamentali, funzioni di Green, formule di rappresentazione per soluzioni su domini particolari
Spazi di Sobolev: derivate deboli, disuguaglianze di Sobolev ed immersioni continue in spazi L^p di Lebesgue.
Compattezza: il teorema di immersioni compatte di Rellich-Kondrachov.
Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine: esistenza ed unicità di soluzioni deboli per il problema di Dirichlet, caratterizzazione degli autovalori del problema di Dirichlet, regolarità di soluzioni deboli, principio di massimo.
Equazione del calore: soluzione fondamentale, formula di rappresentazione per il problema di Cauchy, principio di Duhamel.
Equazioni paraboliche: definizione di soluzioni deboli, approssimazione di Galerkin, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Equazioni dell onde: equazione del trasporto, formula di rappresentazione
Equazioni iperboliche: definizione, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Spazi di Sobolev: derivate deboli, disuguaglianze di Sobolev ed immersioni continue in spazi L^p di Lebesgue.
Compattezza: il teorema di immersioni compatte di Rellich-Kondrachov.
Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine: esistenza ed unicità di soluzioni deboli per il problema di Dirichlet, caratterizzazione degli autovalori del problema di Dirichlet, regolarità di soluzioni deboli, principio di massimo.
Equazione del calore: soluzione fondamentale, formula di rappresentazione per il problema di Cauchy, principio di Duhamel.
Equazioni paraboliche: definizione di soluzioni deboli, approssimazione di Galerkin, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Equazioni dell onde: equazione del trasporto, formula di rappresentazione
Equazioni iperboliche: definizione, esistenza ed unicita' di soluzioni deboli.
Prerequisiti
Analisi reale: spazi di Lebesgue L^p, spazio duale, spazi di Banach e spazi di Hilbert, convergenza debole
consigliato: Analisi funzionale
consigliato: Analisi funzionale
Metodi didattici
Lezioni tradizionali in aula.
Materiale di riferimento
Evans, L.C. - Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, seconda edizione, 2010
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di un'unica prova orale (circa 45 minuti) tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso e la capacita' acquisita di svolgere esercizi di tipologia simile a quelli proposti durante il corso.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Ciraolo Giulio
Turni:
Turno
Docente:
Ciraolo GiulioDocente/i