Fondamenti della matematica 1
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Comprendere alcune importanti "crisi" dell'intuizione nello sviluppo del pensiero matematico e le corrispondenti sistemazioni teoriche: la scoperta delle grandezze incommensurabili; il concetto di infinito; la crisi dei fondamenti e le assiomatizzazioni di fine Ottocento (geometrie, continuo, teoria degli insiemi).
Analizzare criticamente i principali sviluppi e le implicazioni matematiche e filosofiche di questi temi attraverso alcuni esempi chiave tratti dalla storia della matematica, esaminando le risposte fornite dai matematici a tali crisi.
Analizzare criticamente i principali sviluppi e le implicazioni matematiche e filosofiche di questi temi attraverso alcuni esempi chiave tratti dalla storia della matematica, esaminando le risposte fornite dai matematici a tali crisi.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti dovranno essere in grado di presentare in modo esaustivo le loro conoscenze, mostrando capacità critica nell'analisi di problematiche fondazionali, sia nel caso di esempi concreti sia a livello trasversale. Nel contempo dovranno acquisire capacità comunicative, argomentando le proprie scelte ed esponendo le proprie conoscenze con un buon equilibrio tra precisione nel linguaggio e chiarezza espositiva.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Introduzione al problema dei fondamenti e analisi della crisi degli incommensurabili
● Introduzione ai fondamenti della matematica.
● Contesto storico: la matematica nell'antica Grecia.
● Il concetto di numero e grandezza nei Greci.
● La crisi degli incommensurabili: la scoperta dell'irrazionalità di √2
● Dettagli sulla scoperta degli incommensurabili.
● Conseguenze filosofiche e matematiche della scoperta.
● Metodi e approcci antichi per trattare le grandezze incommensurabili.
L'Infinito in Matematica
● Il concetto di infinito: dalla filosofia alla matematica.
● Infinito potenziale vs. infinito attuale.
● L'infinito in geometria, nella teoria degli insiemi e nell'analisi
La Crisi dei Fondamenti nel XIX Secolo
● La matematica nel XIX secolo: un periodo di grandi cambiamenti.
● Il problema della formalizzazione dell'intuizione del continuo e della "retta dei numeri"
● Il quinto postulato e le geometrie non euclidee
● Cantor e la teoria ingenua degli insiemi: introduzione e primi sviluppi.
● La crisi dei fondamenti: problemi di rigore e consistenza.
Risposte alla Crisi dei Fondamenti
● Hilbert e il programma di formalizzazione.
● Klein e il programma di Erlangen
● Teorie degli insiemi e assiomatizzazioni
Implicazioni Filosofiche e Matematiche
● Discussione su alcuni dibattiti filosofici riguardanti i fondamenti della matematica relativi al tema dell'intuizione, assiomatizzazione e dimostrazione. L'intuizionismo di Brouwer. Finitismo e costruttivismo.
● Le conseguenze della crisi dei fondamenti per la matematica moderna.
● Introduzione ai fondamenti della matematica.
● Contesto storico: la matematica nell'antica Grecia.
● Il concetto di numero e grandezza nei Greci.
● La crisi degli incommensurabili: la scoperta dell'irrazionalità di √2
● Dettagli sulla scoperta degli incommensurabili.
● Conseguenze filosofiche e matematiche della scoperta.
● Metodi e approcci antichi per trattare le grandezze incommensurabili.
L'Infinito in Matematica
● Il concetto di infinito: dalla filosofia alla matematica.
● Infinito potenziale vs. infinito attuale.
● L'infinito in geometria, nella teoria degli insiemi e nell'analisi
La Crisi dei Fondamenti nel XIX Secolo
● La matematica nel XIX secolo: un periodo di grandi cambiamenti.
● Il problema della formalizzazione dell'intuizione del continuo e della "retta dei numeri"
● Il quinto postulato e le geometrie non euclidee
● Cantor e la teoria ingenua degli insiemi: introduzione e primi sviluppi.
● La crisi dei fondamenti: problemi di rigore e consistenza.
Risposte alla Crisi dei Fondamenti
● Hilbert e il programma di formalizzazione.
● Klein e il programma di Erlangen
● Teorie degli insiemi e assiomatizzazioni
Implicazioni Filosofiche e Matematiche
● Discussione su alcuni dibattiti filosofici riguardanti i fondamenti della matematica relativi al tema dell'intuizione, assiomatizzazione e dimostrazione. L'intuizionismo di Brouwer. Finitismo e costruttivismo.
● Le conseguenze della crisi dei fondamenti per la matematica moderna.
Prerequisiti
Saranno considerati prerequisiti del corso le conoscenze maturate nei corsi di base del primo anno della laurea triennale in Matematica.
Metodi didattici
● Lezioni frontali e interattive.
● Analisi di testi e articoli storici e moderni sui temi trattati e discussioni di casi studio significativi.
● Eventuali Lavori di gruppo
● Analisi di testi e articoli storici e moderni sui temi trattati e discussioni di casi studio significativi.
● Eventuali Lavori di gruppo
Materiale di riferimento
● Boyer, C. B. (1989). A History of Mathematics. John Wiley & Sons.
● Cantor, G. (1955). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover Publications.
● Dauben, J. W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard University Press.
● Ewald, W. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Oxford University Press.
● van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
● Cantor, G. (1955). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. Dover Publications.
● Dauben, J. W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard University Press.
● Ewald, W. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Oxford University Press.
● van Heijenoort, J. (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
● Presentazione di un seminario
o
● esame orale tradizionale
Gli studenti e le studentesse dovranno essere in grado di presentare in modo esaustivo le loro conoscenze, mostrando capacità critica nell'analisi di problematiche fondazionali, sia nel caso di esempi concreti sia a livello trasversale. Sarà valutata la conoscenza dei problemi e la capacità di connettere gli aspetti specifici puntuali del singolo caso in esame con le problematiche fondazionali di più ampio. Gli studenti e le studentesse dovranno mostrare consapevolezza delle implicazioni dei problemi incontrati in casi concreti sulla prospettiva fondazionale più ampia e le ricadute di una nuova sistemazione teorica sulla formulazione dei problemi all'interno delle diverse teorie. Nel contempo gli studenti e le studentesse dovranno mostrare capacità comunicative, argomentando le proprie scelte ed esponendo le proprie conoscenze con un buon equilibrio tra precisione nel linguaggio e chiarezza espositiva.
o
● esame orale tradizionale
Gli studenti e le studentesse dovranno essere in grado di presentare in modo esaustivo le loro conoscenze, mostrando capacità critica nell'analisi di problematiche fondazionali, sia nel caso di esempi concreti sia a livello trasversale. Sarà valutata la conoscenza dei problemi e la capacità di connettere gli aspetti specifici puntuali del singolo caso in esame con le problematiche fondazionali di più ampio. Gli studenti e le studentesse dovranno mostrare consapevolezza delle implicazioni dei problemi incontrati in casi concreti sulla prospettiva fondazionale più ampia e le ricadute di una nuova sistemazione teorica sulla formulazione dei problemi all'interno delle diverse teorie. Nel contempo gli studenti e le studentesse dovranno mostrare capacità comunicative, argomentando le proprie scelte ed esponendo le proprie conoscenze con un buon equilibrio tra precisione nel linguaggio e chiarezza espositiva.
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docenti:
Branchetti Laura, Mantovani Sandra
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Online tramite Microsoft Teams
Ricevimento:
Giovedì 12.45-14.15, su appuntamento
Studio 1019, I Piano, Dipartimento di Matematica, Via Saldini, 50