Probabilità
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
Fornire le nozioni e gli strumenti di base del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. L'insegnamento si propone di fornire agli studenti i fondamenti della materia al livello richiesto per gli insegnamenti che seguiranno nel loro curriculum.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per gli studi ulteriori nell'ambito della probabilità, della statistica, dei processi stocastici, del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per gli studi ulteriori nell'ambito della probabilità, della statistica, dei processi stocastici, del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti avranno acquisito i fondamenti di teoria della probabilità necessari per ogni ulteriore approfondimento di tipo matematico o applicativo, sia nella direzione della statistica matematica sia per lo studio dei processi stocastici o del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
· Introduzione alla Probabilità
Spazi di probabilità. Proprietà della probabilità. Insiemi boreliani. Probabilità condizionata e indipendenza di eventi.
· Variabili aleatorie
Definizione di variabile aleatoria. Legge o distribuzione di una variabile aleatoria. Variabili aleatorie reali e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie reali discrete. Variabili aleatorie reali assolutamente continue.
· Valore atteso
Valore atteso di variabili aleatorie reali. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di valore atteso. Serie di variabili aleatorie. Disuguaglianze di Jensen e Cauchy-Schwarz. Spazi L^p. Valore atteso di variabili aleatorie reali discrete e assolutamente continue.
· Indipendenza di variabili aleatorie e vettori aleatori
Indipendenza di collezioni di eventi e di variabili aleatorie. Definizione di vettore aleatorio. Legge congiunta e leggi marginali. Vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Covarianza di variabili aleatorie e matrice varianza di vettori aleatori.
· Funzione caratteristica
Definizione, proprietà e regolarità della funzione caratteristica. Funzione caratteristica congiunta e funzioni caratteristiche marginali. Funzione caratteristica e indipendenza.
· Vettori aleatori gaussiani
Definizione e funzione caratteristica. Indipendenza e incorrelazione. Vettori aleatori gaussiani assolutamente continui.
· Convergenza di successioni di variabili aleatorie
Convergenza quasi certa, in L^p, in probabilità, in legge. Relazioni tra le varie nozioni di convergenza. Criteri per riconoscere la convergenza in legge basati sulla funzione di ripartizione, sulla densità discreta, sulla densità continua, sulla funzione caratteristica (teorema di continuità di Lévy).
· Teoremi limite
Legge debole/forte dei grandi numeri e Teorema limite centrale.
· Legge condizionata e valore atteso condizionato
Nuclei di transizione e legge condizionata. Definizione di valore atteso condizionato al valore assunto da una variabile aleatoria. Definizione di valore atteso condizionato a una variabile aleatoria e sue proprietà.
Spazi di probabilità. Proprietà della probabilità. Insiemi boreliani. Probabilità condizionata e indipendenza di eventi.
· Variabili aleatorie
Definizione di variabile aleatoria. Legge o distribuzione di una variabile aleatoria. Variabili aleatorie reali e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie reali discrete. Variabili aleatorie reali assolutamente continue.
· Valore atteso
Valore atteso di variabili aleatorie reali. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di valore atteso. Serie di variabili aleatorie. Disuguaglianze di Jensen e Cauchy-Schwarz. Spazi L^p. Valore atteso di variabili aleatorie reali discrete e assolutamente continue.
· Indipendenza di variabili aleatorie e vettori aleatori
Indipendenza di collezioni di eventi e di variabili aleatorie. Definizione di vettore aleatorio. Legge congiunta e leggi marginali. Vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Covarianza di variabili aleatorie e matrice varianza di vettori aleatori.
· Funzione caratteristica
Definizione, proprietà e regolarità della funzione caratteristica. Funzione caratteristica congiunta e funzioni caratteristiche marginali. Funzione caratteristica e indipendenza.
· Vettori aleatori gaussiani
Definizione e funzione caratteristica. Indipendenza e incorrelazione. Vettori aleatori gaussiani assolutamente continui.
· Convergenza di successioni di variabili aleatorie
Convergenza quasi certa, in L^p, in probabilità, in legge. Relazioni tra le varie nozioni di convergenza. Criteri per riconoscere la convergenza in legge basati sulla funzione di ripartizione, sulla densità discreta, sulla densità continua, sulla funzione caratteristica (teorema di continuità di Lévy).
· Teoremi limite
Legge debole/forte dei grandi numeri e Teorema limite centrale.
· Legge condizionata e valore atteso condizionato
Nuclei di transizione e legge condizionata. Definizione di valore atteso condizionato al valore assunto da una variabile aleatoria. Definizione di valore atteso condizionato a una variabile aleatoria e sue proprietà.
Prerequisiti
Sono richieste alcune nozioni acquisite nei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3, in particolare teoria dell'integrazione (compresi integrali impropri, integrali multipli, cambi di variabili) e successioni di funzioni. Si usano anche nozioni di base dei corsi di Geometria 1 e 2. Durante il corso vengono richiamati e utilizzati concetti e risultati di teoria della misura, che sono trattati in modo sistematico nel corso di Analisi Matematica 4.
Metodi didattici
Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, ma molto consigliata.
Materiale di riferimento
Libro di testo:
J. Jacod, P. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2nd ed.
Altro materiale didattico sarà costituito da dispense del docente, disponibili liberamente sul sito internet del corso.
Saranno anche resi disponibili schede con esercizi e prove scritte d'esame degli anni precedenti.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità - Un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni. Springer, 2021, 2nd ed.
A. Pascucci. Teoria della Probabilità - Variabili aleatorie e distribuzioni. Springer, 2020.
J. Jacod, P. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2nd ed.
Altro materiale didattico sarà costituito da dispense del docente, disponibili liberamente sul sito internet del corso.
Saranno anche resi disponibili schede con esercizi e prove scritte d'esame degli anni precedenti.
Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità - Un primo corso attraverso esempi, modelli e applicazioni. Springer, 2021, 2nd ed.
A. Pascucci. Teoria della Probabilità - Variabili aleatorie e distribuzioni. Springer, 2020.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Non è possibile sostenere la prova orale in un appello d'esame differente da quello della prova scritta.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi collegati al programma del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati. Il voto finale tiene conto della valutazione di entrambe le prove, scritta e orale.
Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello e, se superate entrambe, permettono di accedere direttamente alla prova orale di tale appello. Agli studenti è data la possibilità di rifiutare il voto della prima prova intermedia e di accedere senza penalità a uno qualunque degli appelli, compreso il primo. Analogamente, agli studenti che si presentano alla seconda prova intermedia ma non consegnano l'elaborato è data la possibilità di accedere senza penalità a uno qualunque degli appelli, compreso il primo. D'altra parte, gli studenti che sostengono la seconda prova intermedia e consegnano il loro elaborato non possono accedere alla prova scritta del primo appello; pertanto, nel caso in cui non superino le prove intermedie, dovranno iscriversi al secondo appello oppure a uno dei successivi.
Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi collegati al programma del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati. Il voto finale tiene conto della valutazione di entrambe le prove, scritta e orale.
Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello e, se superate entrambe, permettono di accedere direttamente alla prova orale di tale appello. Agli studenti è data la possibilità di rifiutare il voto della prima prova intermedia e di accedere senza penalità a uno qualunque degli appelli, compreso il primo. Analogamente, agli studenti che si presentano alla seconda prova intermedia ma non consegnano l'elaborato è data la possibilità di accedere senza penalità a uno qualunque degli appelli, compreso il primo. D'altra parte, gli studenti che sostengono la seconda prova intermedia e consegnano il loro elaborato non possono accedere alla prova scritta del primo appello; pertanto, nel caso in cui non superino le prove intermedie, dovranno iscriversi al secondo appello oppure a uno dei successivi.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Cosso Andrea, Fuhrman Marco Alessandro
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento per email
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1027 oppure tramite Microsoft Teams
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017. Il ricevimento si svolge in remoto in caso di condizioni di emergenza sanitaria.