Processi stocastici
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento vuole insegnare i metodi della meccanica statistica di non
equilibrio, come le catene di Markov, le equazioni stocastiche,
l'espansione di Moyal, l'equazione di Fokker-Planck, la riduzione
dimensionale alla Mori-Zwanzig
equilibrio, come le catene di Markov, le equazioni stocastiche,
l'espansione di Moyal, l'equazione di Fokker-Planck, la riduzione
dimensionale alla Mori-Zwanzig
Risultati apprendimento attesi
Lo studente conoscerà la teoria ed i metodi della meccanica statistica di non equilibrio, che stanno alla base della modellizzazione fisica di
fenomeni cinetici e di diverse tecniche di analisi dati.
fenomeni cinetici e di diverse tecniche di analisi dati.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1) Processi stocastici
Un esempio: il random walk in tempi discreti
Review di variabili stocastiche
Processi stocastici: definizioni, momenti, stazionarietà, densità spettrale, funzionari caratteristici
Esempi: processo di Galton, processo di Ornstein-Uhlenbeck .
Processi di Markov. Definizioni e proprietà. Random walk con persistenza. Equazione di Chapman-Kolmogrov. Processi di Wiener e di Poission.
Catene di Markov. Esempio: decadimento nucleare.
La master equation: derivazione. Matrici stocastiche e loro proprietà. Matrici con proprietà specifiche. Esempio: decadimento del pione. Bilancio dettagliato. Esistenza e unicità della soluzione stazionaria. Bilancio dettagliato in sistemi Hamiltoniani. Equazioni macroscopiche. Espansione in autofunzioni. L'equazione aggiunta.
Stochastic monitoring.
Processi di nascita-morte. Il problema dei confini. Esempi: reazioni chimiche.
L'espansione della master equation.
Processi markoviani di tipo diffusivo.
Problemi di epidemiologia.
2) L'approccio di Langevin
Bagno termico di oscillatori armonici.
L'equazione di Langevin.
Equazioni differenziali stocastiche. Introduzione al calcolo di Ito e Stratonovich.
Teoria della risposta lineare.
Relazioni di fluttuazione-dissipazione in dinamica di equilibrio.
3) L'equazione di Fokker-Planck
Derivazione.
Espansione di Kramers-Moyal.
L'equazione backward.
Teorema di Paula.
Formulazione path-integral.
Esempio: il moto browniano
Metodi di soluzione. Esempio: potenziale bistabile
Riduzione dimensionale: equazione di Mori-Zwanzig.
Un esempio: il random walk in tempi discreti
Review di variabili stocastiche
Processi stocastici: definizioni, momenti, stazionarietà, densità spettrale, funzionari caratteristici
Esempi: processo di Galton, processo di Ornstein-Uhlenbeck .
Processi di Markov. Definizioni e proprietà. Random walk con persistenza. Equazione di Chapman-Kolmogrov. Processi di Wiener e di Poission.
Catene di Markov. Esempio: decadimento nucleare.
La master equation: derivazione. Matrici stocastiche e loro proprietà. Matrici con proprietà specifiche. Esempio: decadimento del pione. Bilancio dettagliato. Esistenza e unicità della soluzione stazionaria. Bilancio dettagliato in sistemi Hamiltoniani. Equazioni macroscopiche. Espansione in autofunzioni. L'equazione aggiunta.
Stochastic monitoring.
Processi di nascita-morte. Il problema dei confini. Esempi: reazioni chimiche.
L'espansione della master equation.
Processi markoviani di tipo diffusivo.
Problemi di epidemiologia.
2) L'approccio di Langevin
Bagno termico di oscillatori armonici.
L'equazione di Langevin.
Equazioni differenziali stocastiche. Introduzione al calcolo di Ito e Stratonovich.
Teoria della risposta lineare.
Relazioni di fluttuazione-dissipazione in dinamica di equilibrio.
3) L'equazione di Fokker-Planck
Derivazione.
Espansione di Kramers-Moyal.
L'equazione backward.
Teorema di Paula.
Formulazione path-integral.
Esempio: il moto browniano
Metodi di soluzione. Esempio: potenziale bistabile
Riduzione dimensionale: equazione di Mori-Zwanzig.
Prerequisiti
Basi di meccanica statistica, analisi matematica, algebra lineare, operatori.
Metodi didattici
Lezione frontale
Materiale di riferimento
Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland.
H. Risken, The Fokker-Planck equation, Springer
R. Zwanzig, Nonequilibrium statistical mechanics, Oxford University Press
H. Risken, The Fokker-Planck equation, Springer
R. Zwanzig, Nonequilibrium statistical mechanics, Oxford University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Colloquio orale di circa mezz'ora per verificare grado di comprensione dello studente degli argomenti trattati nel corso.
FIS/03 - FISICA DELLA MATERIA - CFU: 3
FIS/04 - FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE - CFU: 3
FIS/04 - FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE - CFU: 3
Lezioni: 42 ore
Docente:
Tiana Guido
Docente/i