Matematica ii
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre i concetti di base dell'algebra, le nozioni di spazio vettoriale e applicazione lineare e analizzare il problema della risolubilità dei sistemi di equazioni lineari (anche da un punto di vista algoritmico).
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento, gli studenti saranno in grado di comprendere il linguaggio formale dell'algebra, avranno acquisito familiarità con le proprietà di base dell'anello degli interi e del campo dei numeri complessi, e sapranno riconoscere gli spazi vettoriali e le applicazioni lineari fra essi. Inoltre, sapranno fattorizzare polinomi, discutere la risolubilità di sistemi di equazioni lineari,
manipolare le matrici, associarle ai sistemi di equazioni lineari e discuterne la diagonalizzabilità.
manipolare le matrici, associarle ai sistemi di equazioni lineari e discuterne la diagonalizzabilità.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Algebra di base.
Insiemi, relazioni tra insiemi e loro composizione: relazioni di equivalenza, di ordine; applicazioni.
Insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali.
Strutture algebriche e omomorfismi: monoidi, gruppi, anelli.
2. Numeri interi
Rappresentazione di numeri interi; rappresentazione unaria; rappresentazione posizionale in base n.
Principio di induzione.
Divisione tra interi e algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore.
Numeri primi e fattorizzazione in primi.
Relazioni di congruenza. Aritmetica modulare.
3. Numeri complessi.
Rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, rappresentazione esponenziale. Operazioni tra numeri complessi, radici dell'unità.
Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
4. Polinomi.
Campi.
Polinomi a coefficienti reali e operazioni tra polinomi; anelli di polinomi.
Radici e loro molteplicità.
Polinomi irriducibili; fattorizzazione.
5. Algebra lineare.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan).
Matrici e operazioni tra matrici.
Spazi vettoriali. Basi.
Applicazioni lineari e matrici; rango di una matrice.
Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Inversa di una matrice quadrata: esistenza e calcolo.
Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
Autovalori e autovettori.
Insiemi, relazioni tra insiemi e loro composizione: relazioni di equivalenza, di ordine; applicazioni.
Insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali.
Strutture algebriche e omomorfismi: monoidi, gruppi, anelli.
2. Numeri interi
Rappresentazione di numeri interi; rappresentazione unaria; rappresentazione posizionale in base n.
Principio di induzione.
Divisione tra interi e algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore.
Numeri primi e fattorizzazione in primi.
Relazioni di congruenza. Aritmetica modulare.
3. Numeri complessi.
Rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, rappresentazione esponenziale. Operazioni tra numeri complessi, radici dell'unità.
Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
4. Polinomi.
Campi.
Polinomi a coefficienti reali e operazioni tra polinomi; anelli di polinomi.
Radici e loro molteplicità.
Polinomi irriducibili; fattorizzazione.
5. Algebra lineare.
Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan).
Matrici e operazioni tra matrici.
Spazi vettoriali. Basi.
Applicazioni lineari e matrici; rango di una matrice.
Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Inversa di una matrice quadrata: esistenza e calcolo.
Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
Autovalori e autovettori.
Prerequisiti
Conoscenze di matematica previste dalle indicazioni nazionali per le scuole secondarie di secondo grado (in particolare: insiemi numerici, calcolo con espressioni letterali, operazioni con i polinomi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, concetto di funzione).
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
Sul sito Ariel associato all'insegnamento saranno rese disponibili note scritte che copriranno tutti i contenuti trattati nel corso.
Altri manuali di riferimento consultabili per approfondimenti ed esercizi sono i seguenti:
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera, Matematica discreta, McGraw-Hill
A. Alzati, M. Bianchi, M. Cariboni, Matematica discreta - Esercizi, Pearson Education
Altri manuali di riferimento consultabili per approfondimenti ed esercizi sono i seguenti:
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera, Matematica discreta, McGraw-Hill
A. Alzati, M. Bianchi, M. Cariboni, Matematica discreta - Esercizi, Pearson Education
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si compone di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi relativi agli argomenti trattati nell'insegnamento.
La prova orale consiste in un colloquio volto ad accertare la conoscenza, anche teorica, la comprensione e la capacità di esposizione logica degli argomenti trattati nell'insegnamento. A discrezione della commissione esaminatrice, durante la prova orale potrà essere richiesta allo studente una discussione della sua prova scritta e la risoluzione di qualche esercizio.
Il non superamento della prova scritta o della prova orale comporta il non superamento dell'esame.
Il voto finale d'esame tiene conto dell'esito della prova scritta e della prova orale. Il voto finale è formulato in trentesimi e viene comunicato e motivato allo studente al termine della prova orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi relativi agli argomenti trattati nell'insegnamento.
La prova orale consiste in un colloquio volto ad accertare la conoscenza, anche teorica, la comprensione e la capacità di esposizione logica degli argomenti trattati nell'insegnamento. A discrezione della commissione esaminatrice, durante la prova orale potrà essere richiesta allo studente una discussione della sua prova scritta e la risoluzione di qualche esercizio.
Il non superamento della prova scritta o della prova orale comporta il non superamento dell'esame.
Il voto finale d'esame tiene conto dell'esito della prova scritta e della prova orale. Il voto finale è formulato in trentesimi e viene comunicato e motivato allo studente al termine della prova orale.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 3
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 3
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 3
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 32 ore
Lezioni: 32 ore
Docenti:
Carai Luca, Colombo Giulio
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento (da fissare via email)
Dipartimento di Matematica, via C. Saldini 50, secondo piano, ufficio 2090
Ricevimento:
per appuntamento da fissare via email
via Cesare Saldini 50, Milano - Dipartimento di Matematica - stanza 2060 (sottotetto)