Analisi matematica 1

L'insegnamento si propone di fornire allo studente un'introduzione ed un primo approfondimento della conoscenza dell'Analisi Matematica (essenziale per uno studente di fisica) che continuerà nei corsi di Analisi Matematica 2 e 3. Saranno trattati con rigore metodologico e precisione alcuni concetti basilari, con particolare riferimento a: numeri reali, in quanto campo ordinato completo con la cardinalità del continuo; spazi metrici (incluso il campo reale), come ambiente astratto e generale per la formulazione robusta della nozione di limite di successioni; limiti e continuità di funzioni tra spazi metrici (fondamentale per lo sviluppo del calcolo differenziale ed integrale in spazi euclidei); nel caso specifico e rilevante del campo reale, convergenza di successioni e serie numeriche, calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale ed applicazioni allo studio qualitativo di funzioni.

1. Conoscenza e comprensione del concetto di campo ordinato completo con cardinalità del continuo.
2. Conoscenza e comprensione del concetto di spazio metrico ed elementi della sua topologia (classificazione di punti ed insiemi).
3. Conoscenza e comprensione del concetto di limite di successioni in spazi metrici (unicità del limite, condizioni necessarie per la convergenza).
4. Conoscenza e comprensione del concetto di limite per successioni reali e strumenti per il calcolo (regolarità di successioni monotone, criteri del confronto, proprietà algebriche, simboli di Landau e confronto tra infiniti, infinitesimi).
5. Conoscenza e comprensione del concetto di convergenza e divergenza di serie numeriche (modalità diverse di convergenza e loro relazioni).
6. Conoscenza e comprensione degli strumenti per stabilire il carattere di una serie numerica (criterio di Cauchy, del rapporto, del confronto, della condensazione, di Leibniz, ad esempio)
7. Conoscenza e comprensione dei concetti di limite e continuità per funzioni tra spazi metrici.
8. Conoscenza e comprensione delle proprietà delle funzioni continue (esistenza di soluzioni di equazioni in termini di funzioni reali, esistenza di massimi e minimi di funzioni reali su insiemi compatti, proprietà dei valori intermedi per funzioni reali).
9. Conoscenza e comprensione della differenziabilità di funzioni reali di una variabile reale (significato geometrico e cinematico della prima e seconda derivata).
10. Conoscenza e comprensione delle regole di calcolo per le derivate (proprietà algebriche, funzioni composte ed inverse).
11. Conoscenza e comprensione delle applicazioni del calcolo differenziale in una variabile reale (monotonia, convessità, estremi locali, studio qualitativo di una funzione data).
12. Capacità di enunciare correttamente le definizioni ed i teoremi principali.
13. Capacità di ragionamento astratto in un contesto concreto.
14. Capacità di eseguire correttamente e velocemente i calcoli nello svolgimento degli esercizi assegnati durante le prove scritte.
15. Capacità di sintesi ed analisi critica dei concetti studiati e delle loro interazioni.
16. Capacità critica di valorizzazione degli strumenti forniti e dei concetti sviluppati nel contesto dello studio della fisica.
17. Capacità di condurre in modo preciso ed adeguato una discussione sui contenuti e sul significato della materia in seduta di prova orale finale.
18. Capacità di proseguire in modo autonomo nello studio approfondito nei corsi successivi.
19. Capacità di lavorare in gruppo durante le esercitazioni e le attività di tutoraggio proposte, e nella preparazione delle prove scritte e orali.