Algebra 1
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire una introduzione alla matematica e quindi alle sue costruzioni fondamentali: i numeri. Nel corso si affronta la costruzione dei numeri naturali mediante il concetto di insieme; gli insiemi vengono dunque accuratamente introdotti nella prima parte del corso. Si sviluppa inoltre il concetto di struttura algebrica mediante il quale si caratterizzano varie costruzioni di insiemi numerici quali, ad esempio, quella dei numeri interi e quella dei razionali. Si trattano inoltre alcune proprietà aritmetiche dei numeri interi mettendo poi in rilievo la parentela con proprietà algebriche di strutture ad essi collegate.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione del linguaggio di base dell'algebra. Conoscenza delle principali strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Tra i risultati specifici che vengono illustrati nel corso ci sono proprietà aritmetiche notevoli dei numeri primi che si deducono da proprietà algebriche degli interi di Gauss. Infine, si acquisiscono i tratti essenziali della teoria dei moduli.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Algebra 1 (ediz. 1)
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3 ore]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Prerequisiti
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.
Scritto e Orale
Scritto e Orale
Metodi didattici
Lezioni/Esercitazioni
Materiale di riferimento
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina Editore, 2013
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Barbieri Viale Luca, Mazza Carlo
Algebra 1 (ediz. 2)
Periodo
Primo semestre
Programma
Insiemi. Relazioni tra insiemi. Funzioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3 ore]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. [3]
Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). Assioma della scelta. [3]
Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipollenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [3]
Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine e buon ordinamento. Reticoli. Insiemi continui. [3]
Divisione euclidea. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. [2]
Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. [3]
Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. [2]
Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [3]
Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. [3]
Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. [3]
Basi e rango di un modulo. [2]
Prerequisiti
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari. Le comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore sono auspicabili ma non veramente necessarie.
Scritto e Orale
Scritto e Orale
Metodi didattici
Lezioni/Esercitazioni
Materiale di riferimento
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina Editore, 2013
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Montoli Andrea, Pacifici Emanuele
Docente/i
Ricevimento:
Contattare per email (normalmente il Martedì ore 14-16)
Ufficio - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
Giovedì 10:30-12:30
Studio 2103 (secondo piano) - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1014, Via Saldini 50