Analisi convessa
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Analisi Convessa studia insiemi convessi, funzioni convesse e relativi problemi estremali (minimizzazione, massimizzazione) in spazi finito- e infinito-dimensionali. Nel corso si intende rimanere prevalentemente nell'ambito degli spazi normati.
Verranno trattati alcuni dei seguenti argomenti (la scelta dipenderà dalle conoscenze e gli interessi dei partecipanti), seguendo una delle due linee: "linea Analisi Funzionale" o "linea Funzioni e Applicazioni" (o eventualmente una via di mezzo).
Verranno trattati alcuni dei seguenti argomenti (la scelta dipenderà dalle conoscenze e gli interessi dei partecipanti), seguendo una delle due linee: "linea Analisi Funzionale" o "linea Funzioni e Applicazioni" (o eventualmente una via di mezzo).
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza degli argomenti del corso e loro applicazione a semplici problemi teorici.
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
· Convessità in spazi vettoriali: teoremi algebrici di separazione.
· Cenni agli spazi vettoriali topologici: topologie deboli.
· Convessità in spazi normati e di Banach: proprietà topologiche di insiemi convessi, involucri convessi, continuità di funzioni convesse, teoremi topologici di separazione, estendibilità di funzioni convesse lipschitziane.
· Convessità finito dimensionale: interno relativo, teoremi di Carathéodory e di Helly, teoremi di Jensen e di Hermite-Hadamard, punti estremi di insiemi convessi compatti finito dimensionali (t. di Minkowski).
· Minimizzazione di funzioni convesse.
Linea Analisi Funzionale:
o Teoremi di Krein-Milman e di Milman sulla rappresentabilità tramite punti estremi, principio di massimo di Bauer.
o Boundaries e punti di supporto: teorema di Bishop-Phelps, teoremi di Rodé e di James (caso separabile).
o Dualità di insiemi convessi: annullatori, polari.
o Serie convesse, insiemi CS-chiusi e CS-compatti.
o Subdifferenziale di funzioni convesse e differenziabilità.
o Differenziabilità di funzioni convesse a meno di insiemi piccoli, cenni sugli spazi di Asplund.
o Selezioni di mappe multivoche a valori convessi, teorema di Michael.
Linea Funzioni e Applicazioni:
Subdifferenziale e calcolo subdifferenziale.
Cenni su subdifferenziale e differenziabilità.
Principio variazionale di Ekeland e sue applicazioni, teorema di Bronsted-Rockafellar.
Dualità di Fenchel.
Approssimazione di funzioni tramite la convoluzione infimale.
Teoremi di minimax.
· Cenni agli spazi vettoriali topologici: topologie deboli.
· Convessità in spazi normati e di Banach: proprietà topologiche di insiemi convessi, involucri convessi, continuità di funzioni convesse, teoremi topologici di separazione, estendibilità di funzioni convesse lipschitziane.
· Convessità finito dimensionale: interno relativo, teoremi di Carathéodory e di Helly, teoremi di Jensen e di Hermite-Hadamard, punti estremi di insiemi convessi compatti finito dimensionali (t. di Minkowski).
· Minimizzazione di funzioni convesse.
Linea Analisi Funzionale:
o Teoremi di Krein-Milman e di Milman sulla rappresentabilità tramite punti estremi, principio di massimo di Bauer.
o Boundaries e punti di supporto: teorema di Bishop-Phelps, teoremi di Rodé e di James (caso separabile).
o Dualità di insiemi convessi: annullatori, polari.
o Serie convesse, insiemi CS-chiusi e CS-compatti.
o Subdifferenziale di funzioni convesse e differenziabilità.
o Differenziabilità di funzioni convesse a meno di insiemi piccoli, cenni sugli spazi di Asplund.
o Selezioni di mappe multivoche a valori convessi, teorema di Michael.
Linea Funzioni e Applicazioni:
Subdifferenziale e calcolo subdifferenziale.
Cenni su subdifferenziale e differenziabilità.
Principio variazionale di Ekeland e sue applicazioni, teorema di Bronsted-Rockafellar.
Dualità di Fenchel.
Approssimazione di funzioni tramite la convoluzione infimale.
Teoremi di minimax.
Propedeuticità
Analisi reale; Geometria 4; Elementi di analisi funzionale.
Prerequisiti
Elementi di teoria della misura e dell'integrale secondo Lebesgue, spazi Lp. Spazi di Hilbert. Basi di topologia generale. Spazi normati e di Banach. Spazio duale. Spazi riflessivi. Topologie deboli (o almeno convergenze deboli).
Esame Orale
L'esame si svolgerà su appuntamento.
Esame Orale
L'esame si svolgerà su appuntamento.
Metodi didattici
Lezione tradizionale.
Materiale di riferimento
Appunti personali dello studente
Dispense su alcune parti del corso sul sito web del docente
Referenze bibliografiche verranno date durante il corso
Dispense su alcune parti del corso sul sito web del docente
Referenze bibliografiche verranno date durante il corso
Docente/i
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)