Analisi reale
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici (tramite anche esercizi dati per casa), comunicare in modo rigoroso le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse, possibilità di lavorare eventualmente in gruppo.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi reale in particolare della teoria degli spazi di Lebesgue e di Hilbert.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Il corso di Analisi Reale è uno dei quattro corsi fondamentali per la Laurea Magistrale con indirizzo analitico (insieme ad Analisi Complessa, Analisi Funzionale ed Equazioni alle Derivate Parziali I). Come deliberato nel Collegio Didattico in Matematica, agli studenti della Laurea Triennale che vogliano anticipare insegnamenti di Analisi della Laurea Magistrale si consiglia di scegliere, nel terzo anno, i corsi di Analisi Reale e/o Analisi Complessa (corsi per cui hanno già acquisito una preparazione adeguata).
1.Differenziazione ed integrazione: Richiami sull'integrale di Lebesgue. Funzioni integrali ed il Teorema di Differenzazione di Lebesgue in Rn. Misure con segno ed il Teorema di Radon-Nikodym. Differenziazione di funzione monotone. Funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale in R. Funzioni convesse ed la disuguaglianza di Jensen.
2.Spazi Lp: Definizione, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, convergenza, completezza. Confronto fra tipi di convergenza. Il duale di Lp ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per Lp . Convoluzione e le disuguaglianze di Young. Approssimazione in Lp mediante funzioni regolari.
3.Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e teorema delle proiezioni. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert. Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram. Basi ortonormali e separabilità. Sviluppi in serie di Fourier ed esempi fondamentali di sistemi completi. Nuclei di convoluzione e convergenza puntuale di serie di Fourier. Operatori lineari limitati. Operatori autoaggiunti e operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert separabili.
1.Differenziazione ed integrazione: Richiami sull'integrale di Lebesgue. Funzioni integrali ed il Teorema di Differenzazione di Lebesgue in Rn. Misure con segno ed il Teorema di Radon-Nikodym. Differenziazione di funzione monotone. Funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale in R. Funzioni convesse ed la disuguaglianza di Jensen.
2.Spazi Lp: Definizione, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, convergenza, completezza. Confronto fra tipi di convergenza. Il duale di Lp ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per Lp . Convoluzione e le disuguaglianze di Young. Approssimazione in Lp mediante funzioni regolari.
3.Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e teorema delle proiezioni. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert. Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram. Basi ortonormali e separabilità. Sviluppi in serie di Fourier ed esempi fondamentali di sistemi completi. Nuclei di convoluzione e convergenza puntuale di serie di Fourier. Operatori lineari limitati. Operatori autoaggiunti e operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert separabili.
Propedeuticità
Analisi Matematica 1, 2, 3, 4
Prerequisiti
Scritto e orale
Verranno assegnati dei compiti a casa da consegnare entro date stabilite. La prova d'esame consisterà nella discussione di tali esercizi e di una prova orale sugli argomenti svolti durante il corso.
Verranno assegnati dei compiti a casa da consegnare entro date stabilite. La prova d'esame consisterà nella discussione di tali esercizi e di una prova orale sugli argomenti svolti durante il corso.
Materiale di riferimento
Testi Consigliati
- R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 43, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977.
- G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1999.
- E. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, Vol. III, Princeton University Press, Princeton, 2005.
- E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 2003.
- E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Second Edition, Graduate Studies in Mathematics Vol 14, American Mathematical Society, Providence, 2001.
- R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 43, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977.
- G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1999.
- E. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, Vol. III, Princeton University Press, Princeton, 2005.
- E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 2003.
- E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Second Edition, Graduate Studies in Mathematics Vol 14, American Mathematical Society, Providence, 2001.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 10 ore
Esposizione guidata di esercizi: 12 ore
Lezioni: 42 ore
Esposizione guidata di esercizi: 12 ore
Lezioni: 42 ore
Docenti:
Payne Kevin Ray, Rondi Luca
Docente/i
Ricevimento:
LUN e MER 15.30-16.30 e per appuntamento
Studio 2051 nel "sottotetto" del Dip. Matematica - v. Saldini 50