Calcolo stocastico ed applicazioni
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è quello di fornire una introduzione ai metodi del calcolo stocastico, con particolare attenzione alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Il corso si dedica, quindi, alla analisi delle soluzioni di tali sistemi di equazioni, dedicando particolare attenzione allo studio di problemi di interesse per le applicazioni.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Il corso si dedica, quindi, alla analisi delle soluzioni di tali sistemi di equazioni, dedicando particolare attenzione allo studio di problemi di interesse per le applicazioni.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà dei processi stocastici di Markov, ed del processo di Wiener; è capace di cogliere le principali proprietà probabilistiche relative alla costruzione dell'integrale di Ito, in particolare relative alla marginalità. Conosce le principali proprietà delle equazioni differenziali alla Ito e le relazioni con le PDE. Vede dei primi esempi di modellizzazione stocastica dell'aleatorietà in sistemi già noti da un pu to di vista deterministico. Sa simulare sistemi di equazioni differenziali stocastiche e quantificare le proprietà delle soluzioni attraverso delle procedure statistiche.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Teoria dei Processi Stocastici
1.1. Processi Stocastici
1.1.1. Distribuzioni infinito dimensionali. Sistemi compatibili e sistemi proiettivi: il Teorema di Kolmogorov Bochner.
1.1.2. Esempi di sistemi compatibili
- Processi Gaussiani
- Processi a componenti indipendenti e processi ad incrementi indipendenti
-Processi di Markov
1.1.3. Studio dei processi di Markov
- Caratterizzazione attraverso la funzione di transizione di Markov
- Semigruppo e operatore infinitesimale associato ad un processo di Markov
1.1.4. Processi di Markov e martingale: la formula di Dynkin.
1.1.3. Moto Browniano e Processo di Wiener
- Esistenza del processo di Wiener: il teorema di Donsker
- Caratterizzazione come processo gaussiano
- Il processo di Wiener come martingala e il suo quadrato come submartingala
- Il teorema di Levy: caratterizzazione del processo di Wiener
- Proprietà delle traiettorie del processo di Wiener
- Il caso multidimensionale
1.2. Integrale di Ito
1.2.1. Definizioni e proprietà
1.2.2. Integrali stocastici come martingale
1.2.3. Il differenziale stocastico
1.2.4. Formula di Ito
1.2.5. Teorema di rappresentazione per Martingale
1.3. Equazioni differenziali stocastiche
1.3.1. La proprietà di Markov delle soluzioni
1.3.2. Teorema di Girsanov
1.3.3. Equazioni di Kolmogorov
1.3.4. Il Teorema di Feyman-Kac
1.3.5. SDE e PDE: problemi di Cauchy
1.3.6. SDE multidimensionali
LABORATORIO
2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastiche e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto Browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto Browniano
2.4. Simulazione dell'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich
2.5. Simulazioni di equazioni differenziali stocastiche (SDE)
2.5.1 Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
2.5.2 Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
2.6.1 Dinamica di popolazione
2.6.2 Sistemi di particelle interagenti
2.6.3. Equazioni differenziali stocastiche in Finanza
.
1.1. Processi Stocastici
1.1.1. Distribuzioni infinito dimensionali. Sistemi compatibili e sistemi proiettivi: il Teorema di Kolmogorov Bochner.
1.1.2. Esempi di sistemi compatibili
- Processi Gaussiani
- Processi a componenti indipendenti e processi ad incrementi indipendenti
-Processi di Markov
1.1.3. Studio dei processi di Markov
- Caratterizzazione attraverso la funzione di transizione di Markov
- Semigruppo e operatore infinitesimale associato ad un processo di Markov
1.1.4. Processi di Markov e martingale: la formula di Dynkin.
1.1.3. Moto Browniano e Processo di Wiener
- Esistenza del processo di Wiener: il teorema di Donsker
- Caratterizzazione come processo gaussiano
- Il processo di Wiener come martingala e il suo quadrato come submartingala
- Il teorema di Levy: caratterizzazione del processo di Wiener
- Proprietà delle traiettorie del processo di Wiener
- Il caso multidimensionale
1.2. Integrale di Ito
1.2.1. Definizioni e proprietà
1.2.2. Integrali stocastici come martingale
1.2.3. Il differenziale stocastico
1.2.4. Formula di Ito
1.2.5. Teorema di rappresentazione per Martingale
1.3. Equazioni differenziali stocastiche
1.3.1. La proprietà di Markov delle soluzioni
1.3.2. Teorema di Girsanov
1.3.3. Equazioni di Kolmogorov
1.3.4. Il Teorema di Feyman-Kac
1.3.5. SDE e PDE: problemi di Cauchy
1.3.6. SDE multidimensionali
LABORATORIO
2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastiche e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto Browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto Browniano
2.4. Simulazione dell'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich
2.5. Simulazioni di equazioni differenziali stocastiche (SDE)
2.5.1 Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
2.5.2 Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
2.6.1 Dinamica di popolazione
2.6.2 Sistemi di particelle interagenti
2.6.3. Equazioni differenziali stocastiche in Finanza
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Propedeuticità
Analisi Matematica 3-4 (fortemente consigliata)
Calcolo delle Probabilità (fortemente consigliata)
Fisica Matematica 1 e 3
Calcolo delle Probabilità (fortemente consigliata)
Fisica Matematica 1 e 3
Prerequisiti
Calcolo Differenziale ed integrale
Equazioni differenziali ordinarie
Esame
Orale (con discussione del laboratorio)
Equazioni differenziali ordinarie
Esame
Orale (con discussione del laboratorio)
Metodi didattici
Modalità di frequenza:
Obbligatoria
Modalità di erogazione:
Tradizionale
Obbligatoria
Modalità di erogazione:
Tradizionale
Materiale di riferimento
V.Capasso, D. Bakstein An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes.
Theory, models, and applications to Finance, Biology and Medicine.
Birkhauser, Boston, 2004. (riferimento principale)
Theory, models, and applications to Finance, Biology and Medicine.
Birkhauser, Boston, 2004. (riferimento principale)
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Lezioni: 49 ore
Docenti:
Fuhrman Marco Alessandro, Morale Daniela
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.