Elementi di analisi funzionale
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi. Verranno effettivamente presentati argomenti fra quelli elencati di seguito, sorvolando su quelli dei quali l'uditorio dichiarasse di essere già a conoscenza.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza degli argomenti del corso e loro applicazioni.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Primo semestre
Programma
Spazi normati. Completamento, completezza e assoluta convergenza delle serie, trasformazioni lineari, equivalenza fra norme, isomorfismi, funzionali lineari continui, dualità, separabilità, riflessività, proiezioni lineari, spazi quoziente. Invertibilità, aggiunzione di operatori lineari. Caratterizzazioni degli spazi normati finito-dimensionali.
Spazi di Banach classici. Individuazione analitica degli spazi duali, confronto fra topologie, cenni ai teoremi di Weierstrass-Stone e di Ascoli-Arzelà.
I teoremi basilari dell'Analisi funzionale. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, mappa aperta (grafo chiuso) e loro applicazioni, cenni alla teoria della complementazione topologica.
Topologie deboli. Spazi vettoriali topologici, spazi localmente convessi, topologie generate da famiglie di funzionali lineari, teoremi di Goldstine, Banach-Alaoglu e Eberlein-Smulian, metrizzabilità.
Operatori compatti e loro spettro. Operatori compatti e prime proprietà. Insieme risolvente, spettro di un operatore lineare. Elementi di teoria spettrale per gli operatori compatti. Basi di autovettori negli spazi di Hilbert.
Spazi di Banach classici. Individuazione analitica degli spazi duali, confronto fra topologie, cenni ai teoremi di Weierstrass-Stone e di Ascoli-Arzelà.
I teoremi basilari dell'Analisi funzionale. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, mappa aperta (grafo chiuso) e loro applicazioni, cenni alla teoria della complementazione topologica.
Topologie deboli. Spazi vettoriali topologici, spazi localmente convessi, topologie generate da famiglie di funzionali lineari, teoremi di Goldstine, Banach-Alaoglu e Eberlein-Smulian, metrizzabilità.
Operatori compatti e loro spettro. Operatori compatti e prime proprietà. Insieme risolvente, spettro di un operatore lineare. Elementi di teoria spettrale per gli operatori compatti. Basi di autovettori negli spazi di Hilbert.
Propedeuticità
Analisi IV
Geometria IV (per la parte di topologia generale)
Analisi Reale (l'insegnamento può venire seguito in contemporanea).
Geometria IV (per la parte di topologia generale)
Analisi Reale (l'insegnamento può venire seguito in contemporanea).
Prerequisiti
Esame Orale
Metodi didattici
Modalità di frequenza:
Fortemente consigliata
Modalità di erogazione:
Tradizionale
Fortemente consigliata
Modalità di erogazione:
Tradizionale
Materiale di riferimento
Durante le lezioni verranno indicati testi specifici di riferimento per i singoli argomenti svolti, che siano facilmente reperibili. Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear operators, part I.
M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear operators, part I.
M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Zanco Clemente