Equazioni di evoluzione
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Il corso si prefigge l'obiettivo di analizzare (dal punto di vista dell'esistenza, unicita' e proprieta' delle soluzioni) alcune equazioni di evoluzione, associate a problemi che nascono nell'ambito delle scienze applicate. Le equazioni trattate coinvolgono operatori (anche nonlineari) massimali monotoni e sottodifferenziali di funzioni convesse e semicontinue inferiormente.
Risultati apprendimento attesi
Si forniscono elementi analitici per investigare equazioni di evoluzione collegate a modelli di natura applicata, anche nel caso della presenza di forti nonlinearita' (date ad esempio da operatori multivoci). Tipicamente le competenze conseguite si collocano nell'ambito della teoria astratta delle equazioni di evoluzione, sviluppando tecniche di approssimazione (e/o discretizzazione) delle stesse, di stime a priori delle soluzioni approssimate, di passaggio al limite per compattezza o semicontinuita'.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
· - Richiami sugli operatori lineari non limitati. Teorema di Hille-Yosida nel caso lineare.
· - Richiami agli spazi di Sobolev, derivate in senso generalizzato.
· - Richiami alle funzioni convesse coniugate.
· - Operatori massimali monotoni, sottodifferenziali.
· - Approccio variazionale (metodo di Lions in terne hilbertiane) per equazioni del tipo u'+Au=f. Esempio di applicazione all'equazione del calore. Metodo di approssimazione di Faedo-Galerkin.
· - Discretizzazione in tempo per equazioni paraboliche e iperboliche
· - Soluzione dell'equazione u'+Au=f in senso forte e debole (con A operatore massimale monotono o sottodifferenziale). Teorema di Hille-Yosida nel caso non-lineare.
· - Esempio di applicazione all'equazione di Allen-Cahn e all'equazione delle onde semilineare smorzata.
· - Richiami agli spazi di Sobolev, derivate in senso generalizzato.
· - Richiami alle funzioni convesse coniugate.
· - Operatori massimali monotoni, sottodifferenziali.
· - Approccio variazionale (metodo di Lions in terne hilbertiane) per equazioni del tipo u'+Au=f. Esempio di applicazione all'equazione del calore. Metodo di approssimazione di Faedo-Galerkin.
· - Discretizzazione in tempo per equazioni paraboliche e iperboliche
· - Soluzione dell'equazione u'+Au=f in senso forte e debole (con A operatore massimale monotono o sottodifferenziale). Teorema di Hille-Yosida nel caso non-lineare.
· - Esempio di applicazione all'equazione di Allen-Cahn e all'equazione delle onde semilineare smorzata.
Propedeuticità
Analisi reale, Analisi funzionale I
Prerequisiti
Esame Orale
Metodi didattici
Il corso sara' strutturato in lezioni frontali a cui si affiancheranno lezioni di tipo seminariale su argomenti specifici. Agli studenti che lo ritenessero si offrira' la possibilita' di approfondimenti tematici guidati dal docente, a cui seguiranno eventualmente brevi seminari tenuti dagli stessi.
Materiale di riferimento
- H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces, and partial differential equaztions, Springer, 2011
- H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractiones dans les espaces de Hilbert, North Holland, 1973
- V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhof International Publishing, Leiden, 1976
- J.L. Lions, E. Magenes, Non-homogeneous boundary value problems and applications, vol. 1, Springer, 1971
- G. Gilardi, Analisi Funzionale, McGraw Hill, 2014
A questi riferimenti si affiancheranno delle dispense su argomenti specifici
- H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractiones dans les espaces de Hilbert, North Holland, 1973
- V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhof International Publishing, Leiden, 1976
- J.L. Lions, E. Magenes, Non-homogeneous boundary value problems and applications, vol. 1, Springer, 1971
- G. Gilardi, Analisi Funzionale, McGraw Hill, 2014
A questi riferimenti si affiancheranno delle dispense su argomenti specifici
Docente/i