Geometria 2
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è completare il background di algebra lineare presentando alcuni concetti fondamentali di questa teoria, nonché introdurre alla geometria degli spazi proiettivi da un lato e quella degli spazi affini euclidei dall'altro, sviluppando la capacità di trattare problemi geometrici nel contesto di volta in volta più adeguato.
Il corso consiste di due parti. Nella prima si continuerà lo studio dell'algebra lineare, iniziato nel corso di Geometria 1, sviluppando diversi argomenti che, nella seconda parte, verranno utilizzati per fondare la teoria degli spazi affini euclidei e degli spazi proiettivi, in ogni dimensione, e per studiare la geometria degli enti lineari e quadratici nei vari ambienti.
Il corso consiste di due parti. Nella prima si continuerà lo studio dell'algebra lineare, iniziato nel corso di Geometria 1, sviluppando diversi argomenti che, nella seconda parte, verranno utilizzati per fondare la teoria degli spazi affini euclidei e degli spazi proiettivi, in ogni dimensione, e per studiare la geometria degli enti lineari e quadratici nei vari ambienti.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenze approfondite riguardanti: autovalori ed autospazi; forme quadratiche; geometria analitica in ambito n-dimensionale (euclideo, affine, proiettivo); coniche e superfici quadriche nei vari ambienti geometrici.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Endomorfismi di spazi vettoriali e loro forme canoniche
Autospazi e sottospazi invarianti di un endomorfismo (o di una matrice quadrata). Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili e di quelli triangolarizzabili. Forma canonica di Jordan. Polinomi e autovalori. Teorema di Cayley-Hamilton. Polinomio minimo.
2. Spazi vettoriali euclidei
Prodotti interni in spazi vettoriali reali e complessi. Norma; angoli; ortogonalità; basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie e gruppo ortogonale. Endomorfismi simmetrici e loro ortodiagonalizzazione (teorema spettrale reale). Cenno al caso complesso.
3. Forme bilineari e quadratiche
Forme multilineari. Forme bilineari; matrici congruenti. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Basi coniugate; riduzione a forma canonica di una forma quadratica. Forme quadratiche reali. Teorema di Sylvester. Forme definite, semidefinite, indefinite. Spazi vettoriali pseudoeuclidei. Forme quadratiche complesse.
4. Geometria in spazi n-dimensionali su un campo arbitrario
Spazi affini euclidei. Riferimenti ortonormali. Sottospazi lineari e loro rappresenta- zioni. Distanze, angoli, aree, volumi, ipervolumi. Cambiamenti di coordinate e trasformazioni. Teorema di Eulero e forma canonica delle rotazioni.
Spazi proiettivi. Motivazioni. Coordinate proiettive omogenee. Birapporto. Sottospazi lineari proiettivi e loro rappresentazioni. Formula di Grassmann. Teorema fondamen- tale della geometria proiettiva. Lo spazio affine complementare di un iperpiano. Proiettività e affinità. Concetto di geometria secondo F. Klein.
5. Quadriche e coniche
Le coniche nel piano euclideo, affine e proiettivo. Quadriche e iperquadriche dal punto di vista proiettivo reale/complesso: punti singolari; riducibilità; spazi lineari; polarità; natura dei punti di una superficie quadrica; classificazioni. Iperquadriche nello spazio affine. Chiusura proiettiva. Comportamento rispetto all'iperpiano improprio. Classificazione affine reale e complessa. Iperquadriche nello spazio euclideo. Invarianti ortogonali. Classificazione euclidea-metrica di coniche e quadriche.
6. La dualità
Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Omomorfismo trasposto. Sottospazi annullatori e loro proprietà. Principio di dualità in geometria proiettiva e sua illustrazione attraverso esempi elementari. Inviluppi aderenti.
Autospazi e sottospazi invarianti di un endomorfismo (o di una matrice quadrata). Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili e di quelli triangolarizzabili. Forma canonica di Jordan. Polinomi e autovalori. Teorema di Cayley-Hamilton. Polinomio minimo.
2. Spazi vettoriali euclidei
Prodotti interni in spazi vettoriali reali e complessi. Norma; angoli; ortogonalità; basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie e gruppo ortogonale. Endomorfismi simmetrici e loro ortodiagonalizzazione (teorema spettrale reale). Cenno al caso complesso.
3. Forme bilineari e quadratiche
Forme multilineari. Forme bilineari; matrici congruenti. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Basi coniugate; riduzione a forma canonica di una forma quadratica. Forme quadratiche reali. Teorema di Sylvester. Forme definite, semidefinite, indefinite. Spazi vettoriali pseudoeuclidei. Forme quadratiche complesse.
4. Geometria in spazi n-dimensionali su un campo arbitrario
Spazi affini euclidei. Riferimenti ortonormali. Sottospazi lineari e loro rappresenta- zioni. Distanze, angoli, aree, volumi, ipervolumi. Cambiamenti di coordinate e trasformazioni. Teorema di Eulero e forma canonica delle rotazioni.
Spazi proiettivi. Motivazioni. Coordinate proiettive omogenee. Birapporto. Sottospazi lineari proiettivi e loro rappresentazioni. Formula di Grassmann. Teorema fondamen- tale della geometria proiettiva. Lo spazio affine complementare di un iperpiano. Proiettività e affinità. Concetto di geometria secondo F. Klein.
5. Quadriche e coniche
Le coniche nel piano euclideo, affine e proiettivo. Quadriche e iperquadriche dal punto di vista proiettivo reale/complesso: punti singolari; riducibilità; spazi lineari; polarità; natura dei punti di una superficie quadrica; classificazioni. Iperquadriche nello spazio affine. Chiusura proiettiva. Comportamento rispetto all'iperpiano improprio. Classificazione affine reale e complessa. Iperquadriche nello spazio euclideo. Invarianti ortogonali. Classificazione euclidea-metrica di coniche e quadriche.
6. La dualità
Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Omomorfismo trasposto. Sottospazi annullatori e loro proprietà. Principio di dualità in geometria proiettiva e sua illustrazione attraverso esempi elementari. Inviluppi aderenti.
Informazioni sul programma
L'esame consiste in una prova scritta (esercizi) e una prova orale, da sostenere nello stesso appello della prova scritta.
Nel mese di aprile o maggio è prevista una prova in itinere sulla parte di programma svolta sino a quel momento.
L'esito positivo riportato in tale prova comporterà un bonus agli effetti della prova scritta d'esame, limitatamente alla parte di programma coinvolta.
Il bonus resterà valido sino all'appello di febbraio 2020 incluso.
N.B. La prova in itinere è riservata esclusivamente agli studenti immatricolati nell'a.a. 2018/19.
Pagina web del corso
cf. la voce Didattica relativa all'anno accademico corrente sulla pagina web del docente
Nel mese di aprile o maggio è prevista una prova in itinere sulla parte di programma svolta sino a quel momento.
L'esito positivo riportato in tale prova comporterà un bonus agli effetti della prova scritta d'esame, limitatamente alla parte di programma coinvolta.
Il bonus resterà valido sino all'appello di febbraio 2020 incluso.
N.B. La prova in itinere è riservata esclusivamente agli studenti immatricolati nell'a.a. 2018/19.
Pagina web del corso
cf. la voce Didattica relativa all'anno accademico corrente sulla pagina web del docente
Propedeuticità
Geometria 1
Prerequisiti
Gli argomenti di Matematica presentati nel precorso e negli insegnamenti del primo semestre.
Esame Scritto e orale
Esame Scritto e orale
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni ed esercitazioni frontali.
Tutorato: 2 ore alla settimana per 12-13 settimane.
Tutorato: 2 ore alla settimana per 12-13 settimane.
Materiale di riferimento
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989.
M.I. Stoka, Corso di Geometria (Terza Ediz.), Cedam, Padova, 1995.
M.I. Stoka, Corso di Geometria (Terza Ediz.), Cedam, Padova, 1995.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Lanteri Antonio, Matessi Diego, Tortora Alfonso
Turni:
Docente:
Lanteri Antonio
Turno A
Docenti:
Lanteri Antonio, Matessi DiegoTurno B
Docente:
Tortora AlfonsoDocente/i