Geometria 4

Definizione di varietà topologica ed esempi. Varietà topologiche a bordo. Superfici Tg e Uh ed enunciato del teorema di classificazione delle superfici topologiche.

Definizione di atlante liscio, struttura differenziabile e varietà differenziabile.
Teorema sugli atlanti massimali.
Applicazioni differenziabili e loro composizione.
Definizione di diffeomorfismo tra varietà lisce ed esempi.
Teorema del rango per mappe lisce tra varietà differenziabili. Definizione di immersione, summersione, embedding. Esempi.
Definizione di sottovarietà (regolare) e immersa.
Immersioni iniettive per varietà compatte e criterio affinché una fibra sia una sottovarietà.

Introduzione alle curve differenziabili in Rn. Definizione di curva parametrizzata. Cambio di parametro e definizione di curva differenziabile in Rn.
Curve regolari e vettore tangente. Lunghezza di un arco di curva e parametro arco per curve regolari. Proprietà del parametro arco ed esempi. Triedro di Frenet. vettore tangente, retta tangente, vettore curvatura, vettore normale.

Fogli semplici di superficie in R3. Superfici differenziabili in R3 come varietà differenziabili di dimensione 2. Piano tangente vettoriale e affine.
Superfici rigate. Coni, cilindri e rigate delle tangenti. Rigate sviluppabili. Superfici di rotazione. Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze di curve e di angoli tra curve. Isometrie locali tra superfici.
Versore normale. Mappa di Gauss e suo differenziale. Seconda forma fondamentale.
Curvature principali, direzioni principali di curvatura, curvatura media, curvatura gaussiana. Curvatura normale e suo calcolo attraverso la II forma fondamentale. Natura dei punti su di una superficie. Linee asintotiche e linee di curvatura.

Derivazioni e spazio tangente. Mappa pull-back. Derivate direzionali.
Interpretazione geometrica dei vettori tangenti e loro espressione in coordinate locali.
Mappa differenziale e sue proprietà.
Base dello spazio tangente e cambio di coordinate.
Espressione del differenziale in coordinate locali.
Spazio tangente nei punti delle fibre di una mappa liscia.

Partizioni dell'unità.

Applicazioni e forme multilineari. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali finitamente generati: proprietà universale. Mult(V1*, , Vn*) come esempio di prodotto tensoriale di V1, Vn. Tensori decomponibili. Prodotto tensoriale e algebra tensoriale. Forme multilineari alternanti. Tensori alternanti. Operatore di antisimmetrizzazione. Prodotto wedge e algebra esterna.

Definizione di fibrato vettoriale. Funzioni di transizione e costruzione di un fibrato a partire dalle funzioni di transizione. Fibrato tangente e fibrato cotangente ad una varietà liscia.
Sezioni di un fibrato vettoriale. Campi vettoriali e cambio di carta. Riferimento locale.

Fibrato delle r-forme su una varietà. r-forme differenziali su una varietà. Il prodotto wedge e l'algebra delle forme. Differenziale esterno e sua autonullificità. Forme chiuse e forme esatte. Pullback di forme. Proprietà del pullback. 1-forme sulla circonferenza e sui tori.

Orientabilità di una varietà differenziabile e forme di volume.
Orientazione delle Sfere. Criterio di non orientabilità. Orientazione del bordo di una varietà.
Integrazione di forme differenziali.
Teorema di Stokes e alcune sue conseguenze.