Matematica del continuo

Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, operazio-ni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
Numeri reali, razionali ed interi. Confronto tra razionali ed irrazionali: insiemi numerabile e non numerabili. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale, estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, criteri del rapporto e della radice, nozione di o piccolo e utilizzo, nozione di asintotico e utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero. Altri simboli di Landau: O grande, Omega grande, Theta grande e loro utilizzo nel confronto tra successioni.
Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Nozione di limite per funzioni e relazione con la continuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una cur-va. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital e confronto di infiniti. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizza-zione.
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integra-le definito. Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie: shift, inversioni e altre manipolazioni algebriche. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.