Sistemi dinamici 1

Presentazione del corso

La teoria dei sistemi dinamici, sviluppata a partire dalle intuizioni
di Poincare', ha messo in evidenza la coesistenza di comportamenti
ordinati e comportamenti caotici in quasi ogni sistema di interesse
fisico o matematico.

Due dei principali strumenti utilizzati per studiare la dinamica di
tali sistemi sono la teoria della forma normale e la teoria dei
sistemi iperbolici. Un ulteriore capitolo importante della teoria dei
sistemi dinamici e' costituito dalla teoria di Poicare' delle orbite
periodiche. Il corso si propone di illustrare alcuni metodi e
risultati di tali teorie.

Prima parte: caos

L'obbiettivo di questa parte del corso e' quello di dare una
spegazione ed una descrizione matematicamente rigorosa dei fenomeni
caotici legati all'esistenza di intersezioni omocline. In particolare
si arrivera' a dimostrare che un pendolo debolmente forzato presenta
moti caotici. I dettagli sono indicati sotto.

Teorema della varieta' stabile. Esistenza e regolarita' della
varieta' stabile nell'intorno di un punto d'equilibrio iperbolico;
prolungamento. Il problema del comportamento globale della
varieta' stabile. Intersezioni omocline (cioe' intersezioni tra
varieta' stabile e varieta' instabile). La dinamica caotica come
descritta da Poincare'. Insiemi iperbolici e comportamento
caotico. Definizione di insieme iperbolico ed esempi elementari
(gatto di Arnold, trasformazione del panettiere). Dinamica
simbolica e shift di Bernoulli. Alcuni esempi di equivalenza tra
la dinamica di un sistema deterministico e il lancio di una
moneta. Iperbolicita' dell'insieme delle orbite omocline (insieme
delle intersezioni tra varieta' stabile e varieta' instabile).
Teorema dell'orbita ombra e applicazioni. Enunciato e
dimostrazione del teorema dell'orbita ombra. Applicazione alla
descrizione del caos in prossimita' di un'intersezione
omoclina. Applicazione alla costruzione di infinite orbite
periodiche in prossimita di un punto d'equilibrio
iperbolico. Densita' delle orbite periodiche in un sistema di
Anosov. Metodo di Melnikov. Metodo di Melnikov per dimostrare
l'esistenza di un'intersezione omoclina e sua applicazione al
pendolo forzato, caos nel pendolo. Applicazione alla dinamica di
un asteroide oscillante nel campo di due pianeti.


Seconda parte: teoria delle orbite periodiche

Teorema di Poincare' di continuazione delle orbite
periodiche. Formulazione del problema in termine di mappa di
Poincare'. Teorema del raddrizzamento. Regolarita' della mappa di
Poincare'. Calcolo degli autovalori della linearizzazione della
mappa di Poincare' e relazione con i moltiplicatori di
Floquet. Teorema di Poincare'. Applicazioni. Il teorema del
centro di Lyapunov (orbite periodiche prossime a quelle lineari
nell'intorno di un punto di equilibrio). Teorema di MacKay-Aubry
sull'esistenza dei breathers (impostazione del problema). Problema
dei 3 corpi: esistenza di orbite periodiche in un modello di
dinamica della luna sotto l'azione della gravita' della terra e
del sole.


Terza parte: ordine

In questa parte del corso, si illustreranno alcuni aspetti della
teoria della forma normale, in particolare ci si concentrera' sul
comportamento delle soluzioni di un'equazione differenziale in
prossimita' di un punto di equilibrio e sul problema dell'esistenza di
una trasformazione di coordinate che permette di ridurre un sistema di
equazioni differenziali alla sua parte lineare.

La teoria classica Linearizzazione di un sistema dinamico in un
punto d'equilibrio. Problema della corrispondenza tra la dinamica
del sistema linearizzato e la dinamica del sistema
completo. Risultati deducibili dal teorema di dipendenza continua
dai dati iniziali (corrispondenza per tempi brevi). Teoremi di
Lyapunov sulla stabilita' dei punti d'equilibrio. Forme normali
nell'intorno dei punti di equilibrio, teoria formale. Problema:
esiste una trasformazione di coordinate che riduce un'equazione
differenziale alla sua parte lineare? Lo studio di tale problema
porta a introdurre il concetto di risonanza. Si mostrera' come in
assenza di risonanze sia possibile trovare una trasformazione che
sposta i termini nonlineari a ordini arbitrariamente alti (teorema
di Poincare'). Forme normali nell'intorno dei punti d'equilibrio,
teoria rigorosa. Probelma della completa eliminibalita' della
parte nonlineare tramite una trasformazione di coordinate. Piccoli
divisori, domini di Poincare' e di Siegel. Condizioni di alta
nonrsionanza di tipo diofanteo e loro generalita'. Dimostrazione
del teorema di Siegel di linearizzabilita' di una equazione
differenziale in prossimita' di un punto d'equilibrio altamente
nonrisonante. Il caso risonante, sistemi Hamiltoniani e forma
normale di Birkhoff Controesempi alla linearizzabilita' nel caso
risonante. Il caso Hamiltoniano come caso sempre risonante. Forma
normale di Birkhoff come variante della teoria generale adattata
al caso Hamiltoniano.