Superfici algebriche
A.A. 2018/2019
Obiettivi formativi
Nel corso si intende fornire un'introduzione alla geometria delle superfici algebriche proiettive complesse, offrendo una rivisitazione della teoria classica (Castelnuovo-Enriques) nel quadro della geometria algebrica contemporanea.
Risultati apprendimento attesi
Una buona conoscenza, a livello pre-dottorale, delle superfici algebriche, dal punto di vista della geometria algebrica complessa.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Materiale di base
Varietà analitiche complesse. Applicazioni olomorfe e meromorfe. Sottovarietà. Divisori e fibrati lineari olomorfi. Fibrato canonico. Varietà algebriche proiettive. Grado e dimensione. Esempi. Sistemi lineari. Cenni su alcuni risultati generali. Fibrati ampi e loro proprietà. Richiami sulla teoria delle curve.
2. Primi elementi della teoria delle superfici algebriche proiettive
Generalità sulle superfici complesse compatte. Caratteri numerici. Superfici algebriche; esempi. Curve su una superficie. Teoria dell'intersezione su una superficie algebrica. Interpretazione topologica. Gruppo di Neron-Severi ed equivalenza numerica. Teorema di Riemann-Roch. Formula di Noether. Formula del genere. Genere aritmetico di un divisore.
3. Il cono delle curve
Il teorema dell'indice di Hodge. Interpretazione nello spazio degli R-divisori modulo equivalenza numerica. Criterio di Nakai-Moishezon. Il cono ampio. Divisori nef. Il cono nef come chiusura del cono ampio. Il cono di Mori e il criterio di Kleiman. Illustrazione dei vari coni su esempi notevoli. Soglia nef di un divisore ampio e teorema di razionalità di Kawamata.
4. Applicazioni birazionali e modelli minimali
Applicazioni razionali e sistemi lineari. Applicazioni birazionali. Esempi. Scoppiamenti e loro proprietà. Il teorema di contrazione di Castelnuovo. Esempi. Struttura dei morfismi birazionali. Invarianti birazionali. Modelli minimali. Superfici rigate e fibrazioni in curve razionali. Teorema di Noether-Enriques. Il teorema di Enriques sui modelli minimi.
5. Superfici rigate e razionali
Caratteri numerici delle superfici rigate e delle superfici razionali. Criterio di razionalità di Castelnuovo. Modelli minimali delle superfici rigate e delle superfici razionali. Numerica effettività del fibrato canonico sulle superfici minimali non rigate (lemma chiave). Il teorema di rigatezza di Enriques. Caratterizzazione delle superfici rigate in termini di aggiunzione. La superficie cubica; superfici di del Pezzo.
6. Superfici non rigate
Dimensione di Kodaira. Comportamento dei plurigeneri ed altri aspetti della tricotomia. Esempi. Caratteri numerici delle superfici con dimensione di Kodaira zero. Cenni sulle superfici ellittiche e sulle superfici di tipo generale. Esempi. La superficie di Godeaux.
Lingua in cui è tenuto l'insegnamento
Varietà analitiche complesse. Applicazioni olomorfe e meromorfe. Sottovarietà. Divisori e fibrati lineari olomorfi. Fibrato canonico. Varietà algebriche proiettive. Grado e dimensione. Esempi. Sistemi lineari. Cenni su alcuni risultati generali. Fibrati ampi e loro proprietà. Richiami sulla teoria delle curve.
2. Primi elementi della teoria delle superfici algebriche proiettive
Generalità sulle superfici complesse compatte. Caratteri numerici. Superfici algebriche; esempi. Curve su una superficie. Teoria dell'intersezione su una superficie algebrica. Interpretazione topologica. Gruppo di Neron-Severi ed equivalenza numerica. Teorema di Riemann-Roch. Formula di Noether. Formula del genere. Genere aritmetico di un divisore.
3. Il cono delle curve
Il teorema dell'indice di Hodge. Interpretazione nello spazio degli R-divisori modulo equivalenza numerica. Criterio di Nakai-Moishezon. Il cono ampio. Divisori nef. Il cono nef come chiusura del cono ampio. Il cono di Mori e il criterio di Kleiman. Illustrazione dei vari coni su esempi notevoli. Soglia nef di un divisore ampio e teorema di razionalità di Kawamata.
4. Applicazioni birazionali e modelli minimali
Applicazioni razionali e sistemi lineari. Applicazioni birazionali. Esempi. Scoppiamenti e loro proprietà. Il teorema di contrazione di Castelnuovo. Esempi. Struttura dei morfismi birazionali. Invarianti birazionali. Modelli minimali. Superfici rigate e fibrazioni in curve razionali. Teorema di Noether-Enriques. Il teorema di Enriques sui modelli minimi.
5. Superfici rigate e razionali
Caratteri numerici delle superfici rigate e delle superfici razionali. Criterio di razionalità di Castelnuovo. Modelli minimali delle superfici rigate e delle superfici razionali. Numerica effettività del fibrato canonico sulle superfici minimali non rigate (lemma chiave). Il teorema di rigatezza di Enriques. Caratterizzazione delle superfici rigate in termini di aggiunzione. La superficie cubica; superfici di del Pezzo.
6. Superfici non rigate
Dimensione di Kodaira. Comportamento dei plurigeneri ed altri aspetti della tricotomia. Esempi. Caratteri numerici delle superfici con dimensione di Kodaira zero. Cenni sulle superfici ellittiche e sulle superfici di tipo generale. Esempi. La superficie di Godeaux.
Lingua in cui è tenuto l'insegnamento
Informazioni sul programma
Altre informazioni
L'esame potrà essere sostenuto tenendo un seminario su un argomento pertinente al programma del corso, concordato con il docente.
Pagina web del corso
cf. la voce Didattica relativa all'anno accad. corrente sulla pagina web del docente.
L'esame potrà essere sostenuto tenendo un seminario su un argomento pertinente al programma del corso, concordato con il docente.
Pagina web del corso
cf. la voce Didattica relativa all'anno accad. corrente sulla pagina web del docente.
Propedeuticità
Nessuna in particolare, ma può risultare utile avere seguito un corso introduttivo alla geometria algebrica o complessa.
Prerequisiti
Una consistente parte del corso viene dedicata a sviluppare il background appropriato.
Esame Orale.
Esame Orale.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni frontali. Le trasparenze scritte dal docente a lezione restano disponibili per qualche giorno.
Materiale di riferimento
A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces, Second Edition, Cambridge Univ. Press, 1996.
Ph. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley & Sons, New York, 1978.
V. Iskovskih, I. R. Shafarevich, Algebraic Surfaces, in Enc. Math. Sci., vol. 35, Springer, Berlin, 1996.
Ch. Peters, Introduction to the Theory of Compact Complex Surfaces, Canad. Math. Soc. Confer. Proc., vol. 12, pp. 129-156, 1992.
M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
Ph. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley & Sons, New York, 1978.
V. Iskovskih, I. R. Shafarevich, Algebraic Surfaces, in Enc. Math. Sci., vol. 35, Springer, Berlin, 1996.
Ch. Peters, Introduction to the Theory of Compact Complex Surfaces, Canad. Math. Soc. Confer. Proc., vol. 12, pp. 129-156, 1992.
M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Lanteri Antonio