Calcolo delle probabilità
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
Questo insegnamento si propone di fornire un'introduzione rigorosa alla teoria del calcolo delle probabilità che ha le martingale di Doob e l'introduzione ai processi stocastici come tema di prospettiva. Dopo una breve panoramica sui fondamenti della teoria di base, si approfondisce l'importante concetto di valore atteso condizionato. Si introducono quindi nel dettaglio i processi stocastici con particolare riferimento alle proprietà di misurabilità e la costruzione dello spazio dei cammini. Si studia a fondo in particolare la teoria di due classi di processi: le martingale sia a tempo discreto che a tempo continuo e le catene di Markov a tempo discreto.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà di rilevanti oggetti probabilistici. Conosce le proprietà importanti dei processi stocastici. Analizza classi fondamentali di processi e si impadronisce di tecniche avanzate dell' analisi stocastica.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
[Programma]:
1. Introduzione alla probabilità .
2. Variabili aleatorie e alla loro integrabilità
3. Funzioni caratteristiche e proprietà
4. Convergenza di variabili aleatorie e convergenza debole di misure di probabilità
5. Valore Atteso condizionato: esistenza e proprietà
6. Processi Stocastici
6.1. Misurabilità e continuità
6.2. Costruzione dello spazio dei cammini e Teorema di Kolmogorv Bochner
6.3. Processi gaussiani e processi di Markov
6.4. Processi di Levy. Processi di Poisson e di Wiener
7. Martingale
7.1. Martingale a tempo discreto e loro trasformate
7.2. Risultati di convergenza e teoremi di arresto opzionale di Doob
7.3. Martingale UI
7.4. Martingale in L^p
7.3. Martingale a tempo continuo
7.4. Teoria della variazione quadratica
8. Catene di Markov
8.1. Struttura in classi: ricorrenza e transienza
8.2. Passeggiata aleatoria
8.5. Distribuzioni invarianti e comportamento asintotico
1. Introduzione alla probabilità .
2. Variabili aleatorie e alla loro integrabilità
3. Funzioni caratteristiche e proprietà
4. Convergenza di variabili aleatorie e convergenza debole di misure di probabilità
5. Valore Atteso condizionato: esistenza e proprietà
6. Processi Stocastici
6.1. Misurabilità e continuità
6.2. Costruzione dello spazio dei cammini e Teorema di Kolmogorv Bochner
6.3. Processi gaussiani e processi di Markov
6.4. Processi di Levy. Processi di Poisson e di Wiener
7. Martingale
7.1. Martingale a tempo discreto e loro trasformate
7.2. Risultati di convergenza e teoremi di arresto opzionale di Doob
7.3. Martingale UI
7.4. Martingale in L^p
7.3. Martingale a tempo continuo
7.4. Teoria della variazione quadratica
8. Catene di Markov
8.1. Struttura in classi: ricorrenza e transienza
8.2. Passeggiata aleatoria
8.5. Distribuzioni invarianti e comportamento asintotico
Prerequisiti
Nozioni di un corso base di Calcolo delle Probabilità.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tutte lezioni frontali tenute alla lavagna.
Materiale di riferimento
[Materiale di riferimento]:
- D. Williams, Probability with Martingales
- J. Jacod, P. Protter, Probability Essentials
- Billingsley , Probability and Measure, 1986
- V.Capasso-D.Bakstein, An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes: Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, Birkhauser, 2015;
- Heinz Bauer, Probability Theory,1996
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017
- AppleBaum, Levy Processes and Stochastic Calculus, 2004
- Norris, Markov Chains, 1999
- D. Williams, Probability with Martingales
- J. Jacod, P. Protter, Probability Essentials
- Billingsley , Probability and Measure, 1986
- V.Capasso-D.Bakstein, An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes: Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, Birkhauser, 2015;
- Heinz Bauer, Probability Theory,1996
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017
- AppleBaum, Levy Processes and Stochastic Calculus, 2004
- Norris, Markov Chains, 1999
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
- La prova scritta richiede la risoluzione di uno o due esercizi più la dimostrazione di uno o due teoremi che sono stati trattati durante il corso. La durata della prova scritta è di due ore.
_ Si può sempre accedere alla prova orale. Nella prova orale possono essere richiesti tutti i risultati presentati a lezione allo scopo di verificare che essi stati compresi in profondità nonché nelle loro interazioni.
- La valutazione finale, pur tenendo conto di entrambe le prove, è sostanzialmente basata sulla prova orale.
- Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
- La prova scritta richiede la risoluzione di uno o due esercizi più la dimostrazione di uno o due teoremi che sono stati trattati durante il corso. La durata della prova scritta è di due ore.
_ Si può sempre accedere alla prova orale. Nella prova orale possono essere richiesti tutti i risultati presentati a lezione allo scopo di verificare che essi stati compresi in profondità nonché nelle loro interazioni.
- La valutazione finale, pur tenendo conto di entrambe le prove, è sostanzialmente basata sulla prova orale.
- Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 30 ore
Lezioni: 42 ore
Lezioni: 42 ore
Docenti:
Morale Daniela, Ugolini Stefania
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento tramite mail
Studio del docente o su piattaforma virtuale