Calcolo stocastico ed applicazioni
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è quello di fornire un'introduzione ai metodi del calcolo stocastico, con particolare riferimento al calcolo alla Ito.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, con particolare riferimento alla classe dei processi di Markov, e quindi al processo di Wiener, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Viene fornita una costruzione dell'integrale di Ito, sia in L2 sia come limite in probabilità. Il corso si dedica anche allo studio delle proprietà di martingalità del processo di Ito che seguono a cascata da quelle del processo di Wiener. Di particolare interesse è l'analisi delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali alla Ito ed ai legami con le PDE.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici. Particolare attenzione è data alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.
Partendo dalle definizioni e risultati fondamentali della teoria dei processi stocastici, con particolare riferimento alla classe dei processi di Markov, e quindi al processo di Wiener, lo studente viene guidato alla formulazione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche poggiando sul calcolo integrale alla Ito. Viene fornita una costruzione dell'integrale di Ito, sia in L2 sia come limite in probabilità. Il corso si dedica anche allo studio delle proprietà di martingalità del processo di Ito che seguono a cascata da quelle del processo di Wiener. Di particolare interesse è l'analisi delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali alla Ito ed ai legami con le PDE.
Il laboratorio è concepito in modo da guidare ciascuno studente verso la capacità del fare (learning by doing), attraverso la simulazione (computazionale) di processi stocastici fondamentali, la soluzione di sistemi di equazioni differenziali stocastiche, e la risoluzione numerica di problemi deterministici di equazioni alle derivate parziali con metodi probabilistici. Particolare attenzione è data alle applicazioni alla Finanza, alla Biologia ed alla Ingegneria.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà dei processi stocastici di Markov, e del processo di Wiener; è capace di cogliere le principali proprietà probabilistiche relative alla costruzione dell'integrale di Ito, in particolare relative alla marginalità. Conosce le principali proprietà delle equazioni differenziali alla Ito e le relazioni con le PDE. Vede dei primi esempi di modellizzazione stocastica dell'aleatorietà in sistemi già noti da un punto di vista deterministico. Sa simulare sistemi di equazioni differenziali stocastiche e quantificare le proprietà delle soluzioni attraverso delle procedure statistiche.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Teoria dei Processi Stocastici
1.1. Processi Stocastici
1.1.1. Richiami sull'introduzione ai processi stocastici e ai principali esempi di processi stocastici (Gaussiani, Levy, Markov)
1.1.2. Studio dei processi di Markov
- Caratterizzazione attraverso la funzione di transizione di Markov
- Semigruppo di transizione e operatore infinitesimale associato ad un processo di Markov
- Processo di Markov omogeneo
1.1.3. Processi di Markov e martingale: la formula di Dynkin.
1.1.4. Moto Browniano e Processo di Wiener
- Esistenza del processo di Wiener
- Caratterizzazione come processo gaussiano
- Il processo di Wiener come martingala e il suo quadrato come submartingala
- Il teorema di Levy: caratterizzazione del processo di Wiener
- La variazione quadratica
- Proprietà delle traiettorie del processo di Wiener: il principio di riflessione, la legge del logaritmo iterato, q.c. non differentiabilità, q.c. continuità
- Il caso multidimensionale
1.2. Integrale di Ito
1.2.1. Definizioni e proprietà: integrale in L2 e come limite in probabilità
1.2.2. Processo di Ito : proprietà e martingalità
1.2.3. Il differenziale stocastico
1.2.4. Formula di Ito
1.2.5. Gli esponenziali browniani
1.2.5. Teorema di rappresentazione per Martingale
1.3. Equazioni differenziali stocastiche
1.3.1. Teoremi di esistenza ed unicità.
1.3.2. La proprietà di Markov delle soluzioni
1.3.3. Equazioni di Kolmogorov
1.3.4. Il Teorema di Feyman-Kac
1.3.5. Teorema di Girsanov
1.3.6. SDE e PDE: problemi di Cauchy
1.3.7. SDE multidimensionali
1.4. Stabilità (non tutti gli anni)
1.4.1 Comportamento asintotico e stabilità
1.4.2. Distribuzioni invariante
LABORATORIO
2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastici e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto Browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto Browniano
2.4. L'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich
- Proprietà dell'integrale di Ito
2.5. Equazioni differenziali
- Simulare equazioni differenziali ordinarie (ODE): metodo di Eulero e Heun
- Simulare equazioni differenziali stocastiche (SDE)
- Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
- Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
- Sistemi epidemiologici e in dinamica di popolazione
- Sistemi di particelle interagenti
- sistemi in Finanza
1.1. Processi Stocastici
1.1.1. Richiami sull'introduzione ai processi stocastici e ai principali esempi di processi stocastici (Gaussiani, Levy, Markov)
1.1.2. Studio dei processi di Markov
- Caratterizzazione attraverso la funzione di transizione di Markov
- Semigruppo di transizione e operatore infinitesimale associato ad un processo di Markov
- Processo di Markov omogeneo
1.1.3. Processi di Markov e martingale: la formula di Dynkin.
1.1.4. Moto Browniano e Processo di Wiener
- Esistenza del processo di Wiener
- Caratterizzazione come processo gaussiano
- Il processo di Wiener come martingala e il suo quadrato come submartingala
- Il teorema di Levy: caratterizzazione del processo di Wiener
- La variazione quadratica
- Proprietà delle traiettorie del processo di Wiener: il principio di riflessione, la legge del logaritmo iterato, q.c. non differentiabilità, q.c. continuità
- Il caso multidimensionale
1.2. Integrale di Ito
1.2.1. Definizioni e proprietà: integrale in L2 e come limite in probabilità
1.2.2. Processo di Ito : proprietà e martingalità
1.2.3. Il differenziale stocastico
1.2.4. Formula di Ito
1.2.5. Gli esponenziali browniani
1.2.5. Teorema di rappresentazione per Martingale
1.3. Equazioni differenziali stocastiche
1.3.1. Teoremi di esistenza ed unicità.
1.3.2. La proprietà di Markov delle soluzioni
1.3.3. Equazioni di Kolmogorov
1.3.4. Il Teorema di Feyman-Kac
1.3.5. Teorema di Girsanov
1.3.6. SDE e PDE: problemi di Cauchy
1.3.7. SDE multidimensionali
1.4. Stabilità (non tutti gli anni)
1.4.1 Comportamento asintotico e stabilità
1.4.2. Distribuzioni invariante
LABORATORIO
2. Generazione e simulazione di Processi Stocastici
2.1. Simulazione di variabili aleatorie
2.2. Processi stocastici e Passeggiate Aleatorie
- Simulazione e studio attraverso stime di parametri e distribuzioni
- Riscalamento di passeggiate aleatorie
2.3. Moto Browniano
- Proprietà.
- Variazione quadratica
- Studio della differenziabilità del moto Browniano
2.4. L'integrale stocastico
- Ito vs Stratonovich
- Proprietà dell'integrale di Ito
2.5. Equazioni differenziali
- Simulare equazioni differenziali ordinarie (ODE): metodo di Eulero e Heun
- Simulare equazioni differenziali stocastiche (SDE)
- Metodi di Eulero-Maruyama, Milstein
- Convergenza (forte e debole). Consistenza. Stabilità.
2.6. Studio di esempi ed applicazioni
- Sistemi epidemiologici e in dinamica di popolazione
- Sistemi di particelle interagenti
- sistemi in Finanza
Prerequisiti
Conoscenze delle basi della teoria della probabilità con particolare riferimento alla costruzione degli spazi di probabilità, delle principali proprietà dei vettori aleatori reali, del valore atteso condizionato e dei vari tipi di convergenza.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tenute in aula con l'ausilio della lavagna classica.
Le lezioni di laboratorio saranno tenute in aula informatizzata.
Le lezioni di laboratorio saranno tenute in aula informatizzata.
Materiale di riferimento
- V.Capasso, D. Bakstein An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes. Theory, models, and applications to Finance, Biology and Medicine. Birkhauser, Boston, 2015.
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017
- Dispense dei docenti
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, Springer, 2017
- Dispense dei docenti
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una prova orale ed una valutazione del laboratorio.
La prova di laboratorio consiste nella valutazione degli ultimi due homework assegnati durante le lezioni di laboratorio. La prova di laboratorio mira a valutare la capacità dello Studente di saper modellizzare, simulare e fare un'analisi quantitativa di alcune dinamiche aleatorie.
Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Al voto concorreranno entrambe le prove, con peso relativo ai crediti.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La prova di laboratorio consiste nella valutazione degli ultimi due homework assegnati durante le lezioni di laboratorio. La prova di laboratorio mira a valutare la capacità dello Studente di saper modellizzare, simulare e fare un'analisi quantitativa di alcune dinamiche aleatorie.
Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
Al voto concorreranno entrambe le prove, con peso relativo ai crediti.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Laboratori: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Lezioni: 49 ore
Docenti:
Fuhrman Marco Alessandro, Morale Daniela
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.