Elementi di analisi funzionale
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle tecniche basilari dell'Analisi Funzionale e loro impiego nella soluzione di semplici problemi teorici e/o di Matematica applicata.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Primo semestre
Programma
Spazi normati. Completamento, completezza e assoluta convergenza delle serie, trasformazioni lineari, equivalenza fra norme, isomorfismi, funzionali lineari continui, dualità, separabilità, riflessività, proiezioni lineari, spazi quoziente. Invertibilità, aggiunzione di operatori lineari. Caratterizzazioni degli spazi normati finito-dimensionali.
Spazi di Banach classici. Individuazione analitica degli spazi duali, confronto fra topologie, cenni ai teoremi di Weierstrass-Stone e di Ascoli-Arzelà.
I teoremi basilari dell'Analisi funzionale. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, mappa aperta (grafo chiuso) e loro applicazioni, cenni alla teoria della complementazione topologica.
Topologie deboli. Spazi vettoriali topologici, spazi localmente convessi, topologie generate da famiglie di funzionali lineari, teoremi di Goldstine, Banach-Alaoglu e Eberlein-Smulian, metrizzabilità.
Operatori compatti e loro proprietà basilari.
Spazi di Banach classici. Individuazione analitica degli spazi duali, confronto fra topologie, cenni ai teoremi di Weierstrass-Stone e di Ascoli-Arzelà.
I teoremi basilari dell'Analisi funzionale. Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, mappa aperta (grafo chiuso) e loro applicazioni, cenni alla teoria della complementazione topologica.
Topologie deboli. Spazi vettoriali topologici, spazi localmente convessi, topologie generate da famiglie di funzionali lineari, teoremi di Goldstine, Banach-Alaoglu e Eberlein-Smulian, metrizzabilità.
Operatori compatti e loro proprietà basilari.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi di base di Analisi Reale e Complessa.
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna.
Materiale di riferimento
Durante le lezioni verranno indicati testi specifici di riferimento per i singoli argomenti svolti, che siano facilmente reperibili. Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear operators, part I.
M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
N. Dunford, J.T. Schwartz: Linear operators, part I.
M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in un colloquio orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente.
La durata della prova orale dipende dalla velocità di reazione dello studente alle domande proposte (la media attesa è 60 minuti).
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La durata della prova orale dipende dalla velocità di reazione dello studente alle domande proposte (la media attesa è 60 minuti).
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Zanco Clemente
Turni:
-
Docente:
Zanco Clemente