Geometria algebrica proiettiva
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire un'introduzione alle varietà algebriche affini e proiettive.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà le nozioni di base sulle varietà algebriche affini e proiettive ed imparerà ad utilizzarle nello studio di alcuni casi concreti.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Primo semestre
Programma
Varietà affini. Chiusi algebrici, teorema della base di Hilbert, topologia di Zariski, ideal associato a un chiuso algebrico, Hilbert Nullstellensatz, spazi irriducibili e insiemi algebrici, funzioni regolari, proprietà dell'anello delle coordinate, mappe regolari, categoria di chiusi affini algebrici, campo dei quozienti e funzioni razionali, punti regolari.
Varietà quasi-proiettive e proprietà. Spazio proiettivo e spazio proiettivo duale, coordinate omogenee, chiusi proiettivi, la versione proiettiva del NullStellenSatz, la chiusura proiettiva, proiezioni in spazi proiettivi da spazi lineari, omogeneizzazione di insiemi affini algebrici. Varietà quasi proiettive, morfismi, esempi di funzioni regolari in spazi proiettivi. Prodotti di varietà quasi proiettive. Grafi di funzioni regolari. Un morfismo da una varietà proiettiva è chiuso nella topologia di Zariski. Famiglie di varietà quasi proiettive. Varietà di incidenza. Rette in una ipersuperficie. Il teorema della dimensione di una fibra. Spazi tangenti, punti lisci. IL luogo dei punti non singolari è aperto. La dimensione di una varietà; proprietà, esempi, la dimensione di una sezione iperpiana, formulazioni equivalenti di dimensione.
Esempi di varietà proiettive e applicazioni. La mappa di Veronese, la grassmanniana, il prodotto di sagre, la cubica gobba, le ipersuperfici, le iperquadriche, la nozione di spazio dei parametri.
Mappe razionali. Definizioni ed esempi, composizione di mappe razionali; la dimensione del luogo di indeterminazione, il grafico di una mappa razionale, il blow up di un punto in uno spazio affine. La risoluzione di una mappa razionale tramite blow up: proiezioni da spazi lineari. Mappe birazionali. Varietà razionali, unirazionali e razionalmente connesse: definizioni e implicazioni. Varietà rigate e unirigate.
Divisori. Definizione di divisori di Weil per varietà proiettive lisce sul campo dei numeri complessi. Il divisore degli zeri e dei poli. L'ordine di annullamento. Il divisor class group. Divisore eccezionale e blow up. Sistemi lineari. Dalle mappe razionali ai sistemi lineari e vice versa.
Varietà quasi-proiettive e proprietà. Spazio proiettivo e spazio proiettivo duale, coordinate omogenee, chiusi proiettivi, la versione proiettiva del NullStellenSatz, la chiusura proiettiva, proiezioni in spazi proiettivi da spazi lineari, omogeneizzazione di insiemi affini algebrici. Varietà quasi proiettive, morfismi, esempi di funzioni regolari in spazi proiettivi. Prodotti di varietà quasi proiettive. Grafi di funzioni regolari. Un morfismo da una varietà proiettiva è chiuso nella topologia di Zariski. Famiglie di varietà quasi proiettive. Varietà di incidenza. Rette in una ipersuperficie. Il teorema della dimensione di una fibra. Spazi tangenti, punti lisci. IL luogo dei punti non singolari è aperto. La dimensione di una varietà; proprietà, esempi, la dimensione di una sezione iperpiana, formulazioni equivalenti di dimensione.
Esempi di varietà proiettive e applicazioni. La mappa di Veronese, la grassmanniana, il prodotto di sagre, la cubica gobba, le ipersuperfici, le iperquadriche, la nozione di spazio dei parametri.
Mappe razionali. Definizioni ed esempi, composizione di mappe razionali; la dimensione del luogo di indeterminazione, il grafico di una mappa razionale, il blow up di un punto in uno spazio affine. La risoluzione di una mappa razionale tramite blow up: proiezioni da spazi lineari. Mappe birazionali. Varietà razionali, unirazionali e razionalmente connesse: definizioni e implicazioni. Varietà rigate e unirigate.
Divisori. Definizione di divisori di Weil per varietà proiettive lisce sul campo dei numeri complessi. Il divisore degli zeri e dei poli. L'ordine di annullamento. Il divisor class group. Divisore eccezionale e blow up. Sistemi lineari. Dalle mappe razionali ai sistemi lineari e vice versa.
Prerequisiti
I contenuti degli insegnamenti Algebra IV e Geometria IV
Metodi didattici
Lezioni
Materiale di riferimento
◦ K. Smith, Math 631 Notes Algebraic geometry (attention to typos!).
◦ R. Shafaverich, Basic Algebraic Geometry I, Springer (in particular for rational maps and the fiber dimension theorem).
◦ J. Harris, Algebraic Geometry, Springer (for blow ups and resolution of rational maps)
◦ R. Shafaverich, Basic Algebraic Geometry I, Springer (in particular for rational maps and the fiber dimension theorem).
◦ J. Harris, Algebraic Geometry, Springer (for blow ups and resolution of rational maps)
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale, durante la quale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, ed alcuni esempi, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se viene superate la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
L'esame si intende superato se viene superate la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Bini Gilberto
Turni:
-
Docente:
Bini Gilberto