Gruppi di lie
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire le conoscenze di base sui gruppi di Lie e sulle algebre di Lie.
Risultati apprendimento attesi
I risultati di apprendimento attesi sono la conoscenza e la capacità di saper utilizzare i gruppi di Lie e le loro proprità topologiche e differenziali fondamentali.
Periodo: Secondo semestre
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
_ Richiami di Geometria differenziale: Campi Vettoriali e flussi associati;
_ Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
_ Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
_ Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
_ Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
_ Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra;
_ Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze;
_ Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
_ Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani;
_ Classificazione dei gruppi di Lie semplici.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
_ Azioni libere e proprie;
_ Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
_ Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
_ Classificazione delle orbite;
_ Varietà simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
_ Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
_ Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
_ Varieta Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
_ Distribuzioni Involutive e Integrabili e Teorema di Frobenius;
_ Definizione di Gruppo di Lie e primi esempi;
_ Considerazioni sui rivestimenti di Gruppi di Lie;
_ Gruppo fondamentale di gruppi di Lie;
_ Algebre di Lie, Campi invarianti a destra e a sinistra;
_ Teoremi sui gruppi di Lie e algebre: corrispondenze;
_ Rappresentazione Ad e ad, Forma di Killing;
_ Considerazioni sui gruppi di Lie abeliani;
_ Classificazione dei gruppi di Lie semplici.
AZIONI DI GRUPPI DI LIE
_ Azioni libere e proprie;
_ Azioni di gruppi compatti. Gruppi unimodulari. Esistenza di Misure di Haar;
_ Il teorema della Slice e idee della dimostrazione;
_ Classificazione delle orbite;
_ Varietà simplettiche, richiami su fibrati principali e fibrati associati;
_ Azioni Hamiltoniane, mappa momento;
_ Riduzioni simplettiche, Teorema di Marsden-Weintein;
_ Varieta Simplettiche Toriche, Teorema di Delzant.
Prerequisiti
Prerequisiti: Gruppo fondamentale, Rivestimenti, Topologia generale. Teorema del Dini e Teorema di esistenza e unicità delle soluzioni per il Problema di Cauchy.
Risultati vari di Geometria 4
Teoria dei Rivestimenti
Risultati vari di Geometria 4
Teoria dei Rivestimenti
Metodi didattici
Lezioni frontali in cui vengono presentati esempi ed esercizi a completamento dei risultati teorici
Materiale di riferimento
M. Alexandrino R. Bettiol: Lie Groups and Geometric aspects of isometric Actions
Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Gallot la Fontaine Hulin "Riemannian Geometry"
Kobayashi Nomizu "Foundation of Differential Geometry I e II"
Brocker-Tom Dieck "Representations of compact Lie groups"
Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Gallot la Fontaine Hulin "Riemannian Geometry"
Kobayashi Nomizu "Foundation of Differential Geometry I e II"
Brocker-Tom Dieck "Representations of compact Lie groups"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste in una prova orale tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso; é possibile che una alternativa sia quella di far discutere di un elaborato (progetto) svolto dallo studente, eventualmente in gruppo, su tematiche proposte.