Matematica

1. Insiemi e numeri. Insiemi e operazioni sugli insiemi. Insieme dei numeri naturali, interi, razionali. Dimostrazione per assurdo. Densità di Q in R. Struttura algebrica e struttura d'ordine in R. Insiemi di numeri reali limitati o illimitati. Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi di numeri reali. Teorema di completezza. La struttura metrica di R. Modulo. Distanza e intorno. Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera e di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Potenze ad esponente naturale, intero, razionale e reale, esponenziali, logaritmi. Disequazioni algebriche di I e II grado, fratte, irrazionali, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche. Sistemi di disequazioni.
2. Prime proprietà delle funzioni. Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Grafico, dominio, immagine. Iniettività e invertibilità. Composizione di funzioni. Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni convesse e concave. Funzioni limitate e funzioni illimitate. Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore di funzioni. Segno e zeri di una funzione. Funzioni pari e dispari.
3. Richiami di geometria analitica. Distanza tra due punti del piano, equazione di una retta nel piano, condizioni di parallelismo ed ortogonalità. Distanza punto retta, punto medio e asse di un segmento. Funzioni lineari e loro applicazioni a problemi reali. Goniometria e trigonometria: definizioni e principali proprietà, teorema dei seni e teorema di Carnot, applicazioni a problemi reali.
4. Grafici di funzioni elementari. Le funzioni potenza e radice. La funzione esponenziale e logaritmica. Le funzioni trigonometriche e loro inverse. Operazioni elementari sui grafici (traslazioni, ribaltamenti, simmetrie, valori assoluti). Disequazioni con confronti grafici.
5. Limiti e funzioni continue. Definizione di limite. Limite destro e sinistro. Limite per difetto e per eccesso. Asintoti orizzontali e verticali. Esistenza e unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema del confronto. Limiti di funzioni. Continuità in un punto. Calcolo di limiti di funzioni elementari. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni composte. Forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Asintoti obliqui. Notazioni o-piccolo e asintotico. Comportamento di alcune funzioni elementari per x→0. Funzioni continue e loro proprietà fondamentali. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema di Darboux.
6. Calcolo differenziale. Definizione di derivata in un punto. Derivata destra e derivata sinistra. Funzione derivata. Significato geometrico della derivata. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione di somma, prodotto, quoziente, composta e inversa. Relazione fra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Derivabilità di ordine superiore. Teorema di De l'Hopital. Polinomio di Taylor di ordine n e suo utilizzo nel calcolo dei limiti. Intervalli di monotonia della funzione. Punti di massimo e minimo relativi. Teorema di Fermat. Relazioni tra derivabilità e monotonia. Derivata seconda e convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
7. Integrali. Primitive di una funzione. Integrali elementari. Definizione di integrale definito. Condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità. Teorema fondamentale del calcolo integrale e teorema della media. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Calcolo di aree di regioni piane.